Kose Dekhi 2 Class 9 সূচকের নিয়মাবলী

প্রিয় ছাত্র ছাত্রী তোমাদের প্রয়োজনমত সব প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য আমরা এই estudypoint ওয়েবসাইট বানিয়েছি। আজকের এই পোস্টে আমরা মধ্য শিক্ষা পর্ষদের নবম শ্রেণীর গণিত কষে দেখি 2 সূচকের নিয়মাবলী: Kose Dekhi 2 Class 9 এই চ্যাপ্টারের গণিতের সম্পূর্ণ উত্তর দিয়েছি। যদি তোমাদের আরো ও গণিতের সমাধানের প্রয়োজন হয় তাহলে আমাদের এই ওয়েবসাইটের কমেন্ট বক্সে লিখে জানাবে। আমরা চেষ্টা করবো যত তাড়াতাড়ি তোমাদের প্রশ্নের উত্তর দিতে পারি।

Kose Dekhi 2 Class 9

1. মান নির্ণয় করো :

(i) $ \left( \sqrt[5](8) \right) ^ \frac{5}{2} \times \left( 16 \right) ^ \frac{-3}{2}$

$= (8^\frac{1}{5})^\frac{5}{2}\times(2^4)^\frac{-3}{2}$

$= 8^{[\frac{1}{5}\times\frac{5}{2}]}\times 2^{[4\times(\frac{-3}{2})]}$

$= 8^{[\frac{1}{5}\times\frac{5}{2}]}\times 2^{[4\times(\frac{-3}{2})]}$

$=8^\frac{1}{2} \times 2^{-3}$

$=(2^3)^\frac{1}{2} \times 2^{-3}$

$=2^{[\frac{3}{2} -3]}$

$=2^\frac{3-2}{2}$

$=2^\frac{3}{2}$

$(ii)[(125)^-2 \times (16)^\frac{-3}{2}]^\frac{-1}{6}$

$=[(15^3)^-2 \times(2^4)^\frac{-3}{2}]^\frac{1}{6}$

$=(5^{-6})^\frac{-1}{6} \times [2^{[4\times(\frac{-3}{2})]}]^\frac{-1}{6}$

$=5^{[(-6)\times(-\frac{1}{6})]} \times (2^{-6})^\frac{-1}{6}$

$=5\times2$

$=10$

$(iii) 4^\frac{1}{3}\times[2^\frac{1}{3}\times 3^\frac{1}{2}\div9^\frac{1}{4}$

$=\frac{2^\frac{2}{3}\times2^\frac{1}{3}\times3 ^\frac{1}{2}}{(3^2)^\frac{1}{4}}$

$=\frac{2^\frac{2}{3}\times 2^\frac{1}{3}\times 3^\frac{1}{2}}{3^\frac{1}{2}}$

=$2^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}$

$=2^\frac{3}{3}$

= 2

2. সরল করো :

$(i) (8a^3 \div 27x^-3)^\frac{2}{3} \times (64a^3 \div 27x^-3)^-\frac{2}{3}$

$=(8a^3\times\frac{1}{27x^-3})^\frac{2}{3} \times (64a^3\times \frac{1}{27x^-3})^\frac{-2}{3}$

$=(\frac{8a^3 x^3}{27}) \times (\frac{64a^3x^3}{27})^\frac{-2}{3}$

$=(\frac{2ax}{3})^3 \times (\frac{4ax}{3})^{3\times(-11)}$

$= (\frac{2ax}{3})^3 \times (\frac{4ax}{3})^{-2}$

= $\frac{2^2(ax)^{2-2} \times 4^{-2}}{3^{2-2}}$

$=2^2 \times 2^{-4}$

$=2^{2-4}$

$=2^{-2}$

$=\frac{1}{4}$

$(ii)\quad {(x^{-5})^\frac{2}{3}}^{-\frac{3}{10}}$

$=[x^{-\frac{10}{3}}]^{-\frac{3}{10}}$

$=x^{-\frac{10}{3}\times -\frac{3}{10}}$

$=x^1$

$=x$

---

$(iii) [\{{{(2^{-1})^{-1}}}\}^{-1}]^{-1}$

$=[\{(\frac{1}{2})^{-1}\}^{-1}]^{-1}$

$=[\{2\}^{-1}]^{-1}$

$=[\frac{1}{2}]^{-1}$

=2

---

$=a^{- \frac{2}{3}} \times b^ {- \frac{2}{3}} \times c^ {- \frac{2}{3}} \times abc$

$=a^{1 – \frac{2}{3}}\times b^{1-\frac{2}{3}}\times c^{1-\frac{2}{3}}$

$=a^\frac{1}{3} \times b^\frac{1}{3} \times c^\frac{1}{3}$

$=(abc)^\frac{1}{3}$

---

(v) $\left(\frac{4^{m+\frac{1}{4}}\times\sqrt{2\times2^m}}{2.\sqrt{2^{-m}}}\right)^{\frac{1}{m}}$

$=\left(\frac{2^{2(m+\frac{1}{4})} \times 2^{\frac{m+1}{2}}}{2^1\times2^{\frac{-m}{2}}}\right)^\frac{1}{m}$

$=\left(\frac{2^{2m+\frac{1}{2}+\frac{m}{2}+\frac{1}{2}}}{2^{1-\frac{m}{2}}}\right)^\frac{1}{m}$

$=\left(2^{2m+\frac{1}{2}+\frac{m}{2}+\frac{1}{2}+\frac{m}{2}} \right)^{\frac{1}{m}}$

$=\left(2^{3m}\right)^{\frac{1}{m}}$

$=2^3$

=8

---

(vi) $9^{-3} \times \frac{16^\frac{-1}{4}}{6^{-2}}\times \left(\frac{1}{27}\right)^{\frac{-4}{3}}$

=$\frac{3^{-6} \times 2^{4\times\frac{-1}{4}}}{3^{-2}\times2^{-2}} \times 3^{-3 \times \frac{-4}{3}}$

$=3^{-6+2} \times 2^{-1+2} \times 3^{4}$

$=3^{-4} \times 3^{4} \times 2^{1}$

$=3^{-4+4}\times 2^1$

=2

---

$(vii) (\frac{x^a}{x^b})^{a^2+ab+b^2} \times (\frac{x^b} {x^c})^{b^2+bc+c^2} \times (\frac{x^c}{x^a})^{c^2+ca+a^2}$

$=x^{(a-b) (a^2+ab+b^2} \times x^{(b-c)(b^2+bc+c^2)} \times x^{(c-a)(c^2+ca+c^2)}$

$=x^{a^3 – b^3} \times x^{b^3-c^3} \times x^{c^3-a^3}$

$=x^{a^3-b^3+b^3-c^3+c^3-a^3}$

=x⁰

=1

---

3. মানের উর্ধ্ব ক্রমানুসারে সাজাও : (i) $5^\frac{1}{2}, 10^\frac{1}{4}, 6^\frac{1}{3}$

$5^\frac{1}{2}$ $=5^\frac{6}{12}$ $=(5^6)^\frac{1}{12}$ $=(15625)^\frac{1}{12}$

$10^\frac{1}{4}$ $=10^\frac{3}{12}$ $=(10^3)^\frac{1}{12}$ $=(1000)^\frac{1}{12}$

$6^\frac{1}{3}$ $=6^\frac{4}{12}$ $=(6^4)^\frac{1}{12}$ $=(1296)^\frac{1}{12}$

মানের উর্ধ্বক্রমানুসারে সাজিয়ে পায়, $10^\frac{1}{4}, 6^\frac{1}{3}, 5^\frac{1}{2}$

---

(ii) $3^\frac{1}{3}, 2^\frac{1}{2}, 8^\frac{1}{4}$

$3^\frac{1}{3}$ $=3^\frac{4}{12}$ $=(3^4)^\frac{1}{12}$ $=(81)^\frac{1}{12}$

$2^\frac{1}{2}$ $=2^\frac{6}{12}$ $=(2^6)^\frac{1}{12}$ $=(64)^\frac{1}{12}$

$8^\frac{1}{4}$ $=8^\frac{3}{12}$ $=(8^3)^\frac{1}{12}$ $=(512)^\frac{1}{12}$

মানের উর্ধ্বক্রমানুসারে সাজিয়ে পায়, $2^\frac{1}{2}, 3^\frac{1}{3},8^\frac{1}{4}$

---

(iiii) $2^{60}, 3^{48}, 4^{36}, 5^{24}$

$2^{60}$ $=(2^5)^{12}$ $=(32)^{12}$

$3^{48}$ $=(3^4)^{12}$ $=(81)^{12}$

$4^{36}$ $=(4^3)^{12}$ $=(64)^{12}$

$5^{24}$ $=(562)^{12}$ $=(25)^{12}$

মানের উর্ধ্বক্রমানুসারে সাজিয়ে পায়, $5^{24}, 2^{60}, 4^{36}, 3^{48}$

---

4. প্রমাণ করো :

(i) $(\frac{a^q}{a^r})^p \times (\frac{a^r}{a^p})^q \times (\frac{a^p}{a^q})^r =1$

বামপক্ষ $=(\frac{a^q}{a^r})^p \times (\frac{a^r}{a^p})^q \times (\frac{a^p}{a^q})^r $

$=(a^{q-r})^p \times (a^2-p)^q \times (a^{p-q})^r$

$=a^{p(q-r)} \times a^{(r-p)q} \times a^{(p-q)r}$

$=a^{pq-pr+qr-qp+rp-rq}$

=a⁰

=1= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

---

$(ii) (\frac{x^m}{x^n})^{m+n}\times (\frac{x^n}{x^l})^{n+l}\times (\frac{x^l}{x^m})^{l+m}=1$

বামপক্ষ = $(\frac{x^m}{x^n})^{m+n} \times (\frac{x^n}{x^l})^{n+l} \times (\frac{x^l}{x^m})^{l+m}$

$=(x^{m-n})^{m+n} \times (x^{n-l})^{n+l} \times (x^{l-m})^{l+m}$

$=x^{m^2-n^2} \times x^{n^2-l^2} \times x^{l^2-m^2}$

$=x^{m^2-n^2+n^2-l^2+l^2-m^2}$

$=x^0$

$=1=$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

---

$(iii) (\frac{x^m}{x^n})^{m+n-l} \times (\frac{x^n}{x^l})^{n+l-m} \times (\frac{x^l}{x^m})^{l+m-n}=1$

$=x^{(m-n)(m+n-l)} \times x^{(n-l)(n+l-m)} \times x^{(l-m)(l+m-n)}$

$=x^{m^2-n^2-l(m-n)+n^2-l^2-m(n-l)+l^2-m^2-n(l-m)}$

$=x^0=1$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

koshe dekhi 2 class 9

---

$(iv) (a^{\frac{1}{x-y}})^\frac{1}{x-z} \times (a^{\frac{1}{y-z}})^\frac{1}{y-x} \times (a^{\frac{1}{z-x}})^\frac{1}{z-y} =1$

$=a^{\frac{1}{(x-y)(x-z)}} \times a^{\frac{1}{(y-z)(y-x)}} \times a^{\frac{1}{(z-x)(z-y)}}$

$=a^{\frac{1}{(x-y)(x-z)} + \frac{1}{(y-z)(y-x)}+ \frac{1}{(z-x)(z-y)}}$

$=a^{-{\frac{1}{(x-y)(z-x)}- \frac{1}{(y-z)(x-y)} -\frac{1}{(z-x)(y-z)}}}$

$=a^{\frac{-(y-z)-(z-x)-(x-y)}{(x-y)(y-z)(z-x)}}$

$=a^{\frac{-y+z-z+x-x+y}{(x-y)(y-z)(z-x)}}$

=a⁰

=1 ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

5.x+z=2y এবং b²=ac হলে দেখাই যে a ^y-z b ^z-x c ^x-y =1

 x+z = 2y

বা, x-y = y-z

এখন , a ^y-z b ^z-x c ^x-y

= a ^y-z b ^z-x c ^y-z  [∵ x-y = y-z ]

= (ac)^y-z b ^z-x

= (b²)^y-z b ^z-x

= b ^2y-2z b ^z-x

= b^2y-2z+z-x

= b ^2y-(x+z)

= b ^2y-2y  [যেহেতু, x+z =2y]

= b⁰

=1 [ প্রমাণিত ]

6.a = xy ^p-1 , b = xy^q-1 , c = xy^r-1 হলে দেখাই যে , a ^q-r b^r-p  c ^p-q =1

a ^q-r b^r-p  c ^p-q

= (xy ^p-1 ) ^q-r (xy ^q-1)^r-p (xy ^r-1) ^p-q

= x ^q-r y ^(p-1)(q-r) x ^r-p y ^(q-1)(r-p) x^p-q y ^(r-1)(p-q)

= x ^q-r+r-p+p-q y ^{(p-1)(q-r)+(q-1)(r-p) + (r-1)(p-q)}

= x ⁰ y ^{(pq-q-rp+r +qr-r-pq+p+rp-p-qr+q)}

= x ⁰ y⁰

= 1

7. $x^\frac{1}{a} = y^\frac{1}{b}=z^\frac{1}{c}$ এবং xyz=1 হলে দেখাও যে a+b+c=0

$ x^\frac{1}{a}=y^\frac{1}{b}=z^\frac{1}{c}=k$ (k≠0, ± 1)

$x=k^a, y=k^b, z=k^c$

xyz=1

$k^{a \times k^b\times k^c}=1$

$k^{a+b+c} =k^0$

a+b+c=0 (প্রমাণিত)

8. a ^x = b^y =c^z এবং abc =1 হলে দেখাই যে a+b+c=1

ধরি, $a^x=b^y=c^z=k$ (k≠0, ± 1)

$a=k^\frac{1}{x}, b=k^\frac{1}{y}, c=k^\frac{1}{z}$

abc=1

$k^\frac{1}{x} \times k^\frac{1}{y} \times k^\frac{1}{z} =1$

$ k^{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}} =0$

$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$

$\frac{yz+zx+xy}{xyz}=0$

xy+yz+zx=0 (প্রমাণিত)

9. সমাধান করিঃ

(i) 49^x= 7³

বা, (7)^2x = (7)³

বা, 2x =3

বা, x = $\frac{3}{2}$

(ii) 2 ^x+2+ 2 ^x-1 =9

বা, 2^x . 2² + 2^x .2^-1 =9

বা, 2^x .4 + 2^x $\frac{1}{2}$ =9

বা, 2^x (4+ $\frac{1}{2}$)= 9

বা, 2^x ($\frac{9}{2}$) = 9

বা, 2^x =9✕$\frac{2}{9}$

বা, 2^x = 2¹

বা, x =1

(iii). 2^x+1 + 2^x+2 =48

বা, 2^x .2+2^x . 2² =48

বা, 2^x .2+2^x .4=48

বা, 2^x (2+4) =48

বা, 2^x ✕ 6 =48

বা, 2^x = 8

বা, 2^x =2³

বা, x =3

(iv) $2^{4x} \times 4^{3x-1} =\frac{4^2x}{2^3x}$

বা, $ 2^{4x} \times 2^{3x} = \frac {4^{2x}}{4^{3x-1}}$

বা, 2^7x = 4 ^{2x -3x+1}

বা, 2^7x = 4 ^1-x

বা, 2^7x = 2^2-2x

বা, 7x = 2-2x

বা, 7x + 2x =2

বা, 9x = 2

বা, $ x=\frac{2}{9}$

(v) 9✕ 81^x = 27 ^2-x

বা, 3² ✕ 3^4x = 3^3(2-x)

বা, 3^(2+4x) = 3^(6-3x)

বা, 2+4x=6-3x

বা, 4x+3x=6-2

বা, 7x=4

বা, x=$\frac{4}{7}$

(vi) 2^(5x+4) +2⁹=2¹⁰

বা, 2 ^(5x+4) =2¹⁰ -2⁹

বা, 2 ^(5x+4) =2⁹(2-1)

বা, 2^(5x+4) = 2 ⁹

বা, 5x+4 =9

বা, 5x =9-4

বা, 5x=5

বা, x = 5/5

বা, x=1 [উত্তর]

(vii) 6 ^(2x+4) = 3^3x  . 2 ^x+8

বা, (3✕2)^(2x+4) = 3 ^3x . 2 ^x+8

বা, 3 ^(2x+4) . 2 ^(2x+4) = 3 ^3x . 2 ^x+8

বা, $\frac{3^{2x+4}}{3^{3x}} = \frac{2^{x+8}}{2^{2x+4}}$

বা, 3 ^(2x+4-3x) = 2 ^(x+8-2x-4)

বা, 3 ^4-x= 2 ^4-x

বা, $(\frac{3}{2})^{4-x}=1$

বা, $(\frac{3}{2})^{4-x}=(\frac{3}{2})^0$

বা, 4-x =0

বা, x=4 (উত্তর)