Kose Dekhi 4 Class 9 Solution স্থানাঙ্ক জ্যামিতি

প্রিয় ছাত্র ছাত্রী তোমাদের প্রয়োজনমত সব প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য আমরা এই estudypoint ওয়েবসাইট বানিয়েছি। আজকের এই পোস্টে আমরা মধ্য শিক্ষা পর্ষদের নবম শ্রেণীর স্থানাঙ্ক জ্যামিতি : Kose Dekhi 4 Class 9 এই চ্যাপ্টারের গণিতের সম্পূর্ণ উত্তর দিয়েছি। যদি তোমাদের আরো ও গণিতের সমাধানের প্রয়োজন হয় তাহলে আমাদের এই ওয়েবসাইটের কমেন্ট বক্সে লিখে জানাবে। আমরা চেষ্টা করবো যত তাড়াতাড়ি তোমাদের প্রশ্নের উত্তর দিতে পারি।

Kose Dekhi 4 Class 9 Math

1 . মূলবিন্দুর থেকে নিচের বিন্দুগুলির দূরত্ব নির্ণয় করো :

(i) (7,-24) (ii) (3,-4) (iii) (a+b,a-b)

(i) O = (0,0), A = (7,-24)

$\overline{OA}=\sqrt{(x_2–x_1{)}^2+(y_2–y_1{)}^2}$

$=\sqrt{(7-0{)}^2+(-24-0{)}^2}$

$=\sqrt{49+576}$

$=\sqrt{625}$

=25 একক

$\overline{OA}=25$ একক

(II) O=(0,0), A = (3,-4)

$\overline{OA}=\sqrt{(3-0{)}^2+(-4-0{)}^2}$

$=\sqrt{9+16}$

$=\sqrt{25}$

=5 একক

$\overline{OA}=5$ একক

(iii) O=(0,0) A=(a+b,a-b)

$\overline{OA}=\sqrt{(a+b-0{)}^2+(a-b-0{)}^2}$

$=\sqrt{(a+b{)}^2+(a-b{)}^2}$

$=\sqrt{2(a^2+b^2)}$

$\overline{OA}=\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}$

2. নীচের বিন্দুগুলির মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করোঃ

(i) (5,7) এবং (8,3) (ii) (7,0) ও (2,-12) (iii) $(\frac{3}{2}$,0) ও (0,-2) (iv) (3,6) ও (-2,-6) (v) (1,-3) এবং (8,3) (vi) (5,7) এবং (8,3)

(i) A=(5,7), B=(8,3)

$\overline{AB}=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

$=\sqrt{(8-5{)}^2+(3-7{)}^2}$

$=\sqrt{3^2+(-4{)}^2}$

$=\sqrt{25}$

= 5 একক

(ii) A=(7,0), B=(2,-12)

$\overline{AB}=\sqrt{(7-2{)}^2+(0-(-12)}$

$=\sqrt{5^2+{12}^2}$

$=\sqrt{169}$

=13 একক

(iii) A = $(\frac{3}{2}$,0), B = (0,-2)

$\overline{AB}=\sqrt{(\frac{3}{2}{)}^2+(-2{)}^2}$

$=\sqrt{\frac{9+16}{4}}$

$=\frac{5}{2}$ একক

(iv) A= (3,6) B=(-2,-6)

$\overline{AB}=\sqrt{(-2-3{)}^2+(-6-6{)}^2}$

$=\sqrt{(-5{)}^2+(-12{)}^2}$

$=\sqrt{169}$

=13 একক

(v) A= (1, -3) B= (8,3)

$\overline{=}\sqrt{(8-1{)}^2+(3-(-3{)}^2}$

$=\sqrt{7^2+6^2}$

$=\sqrt{49+36}$

$=\sqrt{85}$

(vi) A=(5,7), B=(8,3)

$\overline{AB}=\sqrt{(8-5{)}^2+(3-7{)}^2}$

$=\sqrt{3^2+(-4{)}^2}$

$=\sqrt{9+16}$

$=\sqrt{25}$

=5 একক

3. প্রমাণ করো যে,(-2,-11) বিন্দুটি (-3,7) (4,6) বিন্দুদ্বয় থেকে সমদূরবর্তী ।

মনে করি, A= (-2,-11), p=(-3,7), Q=(4,6)

$\overline{AP}=\sqrt{(-3+2{)}^2(7+11{)}^2}$

$=\sqrt{1^2+324}$

$=\sqrt{325}$ একক

$\overline{AQ}=\sqrt{(4+2{)}^2+(6+11{)}^2}$

$=\sqrt{36+289}$

$=\sqrt{325}$ একক

$\overline{AP}=\overline{AQ}$ ….(প্রমাণিত)

4. দেখাও যে, (7,9) (3,-7), এবং (-3,3)বিন্দুগুলি একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু

মনে করি, A=(7,9) B= (3,-7), C= (-3,3)

$\overline{A{B}^2}$ = (3-7)²+(-7-0)²

= (-4)²+(-16)² = 16+256 = 272

$\overline{A{C}^2}$ = (-3-7)² + (3-9)²

= (-10)² + (-6)²

= 100 + 36 = 136

$\overline{B{C}^2}$ = (-3-3)² + (3-(-7)²

= (-6)² + (10)² = 36 + 100 = 136

$\overline{A{B}^2}=\overline{A{C}^2}+\overline{B{C}^2}$

5. প্রমান কর যে, উভয়ক্ষেত্রে নিচের বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু

(i) (1,4), (4,1) ও (8,8)

মনে করি, A= (1,4), B= (4,1) C= (8,8)

$\overline{AB}=\sqrt{(4-1{)}^2+(1-4{)}^2}$

$\sqrt{3^2+(-3{)}^2}$

$3\sqrt{2}$

$\overline{BC}=\sqrt{(8-4{)}^2+(8-1{)}^2}$

$\sqrt{4^2-7^2}$

$\sqrt{65}$

$\overline{CA}=\sqrt{(8-1{)}^2+(8-4{)}^2}$

$\sqrt{49+16}$

$\sqrt{65}$

$\mathrm{\Delta }ABCএর\overline{BC}=\overline{CA}$

$\mathrm{\Delta }$ ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ

(ii) (-2,-2), (2,2) (4,-4)

মনে করি, A= (-2,-2), B= (2,2) C= (4,-4)

$\overline{AB}=\sqrt{2-(-2{)}^2+2-(-2{)}^2}$

$=\sqrt{4^2+4^2}$

$=4\sqrt{2}$

$\overline{BC}=\sqrt{(4-2{)}^2+(-4-4{)}^2}$

$=\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{40}$

$=\overline{CA}$

$=\sqrt{(4-(-2){)}^2+(-4-(-2){)}^2}$

$=\sqrt{6^2+2^2}$

$=\sqrt{40}$

$\mathrm{\Delta }ABCএর\overline{BC}=\overline{CA}$

$\mathrm{\Delta }$ ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ

6. প্রমান কর যে, A (3,3), B (8,-2) C (-2,-2) বিন্দু তিনটি একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু $\mathrm{\Delta }ABC$-এর অতিভুজের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

সমাধান: A = (3,3), B = (8,-2), C = (-2,-2)

$\overline{A{B}^2}$ = (8-3)² + (-2-3)² =

= 5² + (-5)² = 25 + 25 = 50

$\overline{B{C}^2}$ = (8+2)² + (-2+2)² = 10² = 100

$\overline{C{A}^2}$ = (-2-3)² + (-2-3)²

= (-5)² + (-5)² = 25 + 25 = 50

$\overline{B{C}^2}=\overline{A{B}^2}=\overline{C{A}^2}$

$\mathrm{\Delta }$ সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ $\overline{AB}=\overline{CA}$ অতিভুজ $\(overline{BC})=\sqrt{100}=10 একক

7. দেখাও যে, (2,1), (0,0) (-1,2) এবং (1,3) বিন্দুগুলি একটি বর্গক্ষেত্রের চারটি কৌণিক বিন্দু।

$\overline{OA}=\sqrt{(2-0{)}^2+(1-0{)}^2}$

$=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$

$\overline{OB}=\sqrt{(-1-0{)}^2+(2-0{)}^2}$

$=\sqrt{(-1{)}^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$

$\overline{BC}=\sqrt{(-1-1{)}^2+(2-3{)}^2}$

$=\sqrt{(-2{)}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{4+1}$

$=\sqrt{5}$

$\overline{AB}=\sqrt{(-1-2{)}^2+(2-1{)}^2}$

$=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$

$\overline{OC}=\sqrt{(1-0{)}^2+(3-0{)}^2}$

$=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$

AOBC চতুর্ভুজের বাহুগুলি দৈর্ঘ্য সমান কর্ণদ্বয় $\overline{AB}$ ও $\overline{OC}$ এর সমান।

প্রদত্ত বিন্দু চারটি একটি বর্গক্ষেত্রের চারটি কৌণিক বিন্দু।

8. y-এর মান কি হলে (2,y) এবং (10,-9) বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব একক হবে?

প্রশ্নানুসারে: $\sqrt{(10-2{)}^2+(-9-y{)}^2}$

বা, $\sqrt{8^2+(9+y{)}^2}=10$

বা, 64 + 81 + 18y + y² = 100

বা, y² + 18y + 45 = 0

বা, y² + (15+3)y + 45 = 0

বা, y² + 15y + 3y + 45 = 0

বা, y(y+15) + 3(y+15) = 0

বা, (y+15) (y+3) = 0

y +15 = 0 বা y + 3 = 0

y = -15 বা y = -3

9. x-অক্ষের উপর এমন একটি বিন্দু নির্ণয় করো যা (3,5) ও (1,3) বিন্দু দুটি থেকে সমদূরবর্তী ।

মনে করি x অক্ষের উপর নির্ণেয় বিন্দুটি (a,0)

$\sqrt{(a-3{)}^2+(0-5{)}^2}$

$=\sqrt{(a-1{)}^2+(0-3{)}^2}$

বা, (a-3)² + 5² = (a-1)² + 3²

বা, a² -6a + 9 + 25 = a² -2a + 1 + 10

বা, -4a = 11 – 34

বা, -4a = -23

বা, a = $\frac{23}{4}$

x অক্ষের উপর নির্ণেয় বিন্দুটি হল ($\frac{23}{4}, 0)

10. 0(0,0) A(4,3) এবং B(8,6) বিন্দু তিনটি সমরেখা কিনা যাচাই করো

সমরেখ হওয়ার শর্ত $\overline{OA}+\overline{AB}=\overline{OB}$

$\overline{OA}=\sqrt{(4+0{)}^2-(3-0{)}^2}$

$=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$

$\overline{AB}=\sqrt{(8-4{)}^2-(6-3{)}^2}$

$=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$

$\overline{OA}+\overline{AB}$ = 5+5 = 10 একক …………(i)

এবং \overline{OB} = \sqrt{(8-0)^2+ (6-0)^2}$

$=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$ …………..(ii)

(i) ও (ii) থেকে পাই, $\overline{OA}+\overline{AB}=\overline{OB}$

0, A, B বিন্দু তিনটি সমরেখ (প্রমাণিত)

11. দেখাও যে, (2,2) (-2,-2) এবং (-2√3, 2√3) বিন্দু তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু

মনে করি, ABC ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি স্থানাঙ্ক যথাক্রমে

A = (2,2), B = (-2,-2), C = (-2√3, 2√3)

$\overline{AB}=\sqrt{(-2,-2{)}^2+(-2-2{)}^2}$

$=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$একক

$\overline{CA}=\sqrt{(2+2\surd 3{)}^2+(2-2\surd 3{)}^2}$

$=\sqrt{2(4+12)}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$একক

$\overline{BC}=\sqrt{(-2\surd 3+2{)}^2+(2\surd 3+2{)}^2}$

$=\sqrt{2(12+4)}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$একক

∴$\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CA}$

∴ $\mathrm{\Delta }$ ABC ত্রিভুজটি সমবাহু (প্রমাণিত)

12. দেখাও যে, (-7,2), (19,18), (15,-6) (-11,-12) বিন্দুগুলি যোগ করলে একটি সামান্তরিক উৎপন্ন হয়

মনে করি, A(-7,2), B(19,18), C(15,-6) ও D(-11,-12) চতুর্ভুজ ABCD এর চারটি শীর্ষবিন্দু স্থানাঙ্ক

$\overline{AB}=\sqrt{(19+7{)}^2+(18-2{)}^2}=\sqrt{{26}^2+{16}^2}$

$=\sqrt{676+256}=\sqrt{932}$

$\overline{BC}=\sqrt{(15-19{)}^2+(-6-18{)}^2}=\sqrt{4^2+(24{)}^2}$

$=\sqrt{16+576}=\sqrt{592}$

$\overline{CD}=\sqrt{(-11-15{)}^2+(-12+6{)}^2}=\sqrt{{26}^2+6^2}$

$=\sqrt{676+36}=\sqrt{712}$

$\overline{DA}=\sqrt{(-7+11{)}^2+(-12-2{)}^2}=\sqrt{4^2+{14}^2}$

$=\sqrt{16+196}=\sqrt{212}$

$AC=\sqrt{(15+7{)}^2+(-8{)}^2}=\sqrt{{22}^2+64}=\sqrt{584}$

$BD=\sqrt{(30{)}^2+(30{)}^2}=\sqrt{900+900}=\sqrt{1800}$

$\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=\overline{DA}$

এবং $\overline{AC}\ne \overline{BD}$

13. দেখাও যে, (2,-2), (8,4), (5,7) এবং (-1,1) বিন্দুগুলি একটি আয়তক্ষেত্রে শীর্ষবিন্দু

$\overline{AB}=\sqrt{(8-2{)}^2+(4+2{)}^2}=\sqrt{6^2+6^2}$

$=6\sqrt{2}$

$\overline{BC}=\sqrt{(5-8{)}^2+(7-4{)}^2}=\sqrt{3^2+3^2}$

$=3\sqrt{2}$

$\overline{CD}=\sqrt{(-1-5{)}^2+(1-7{)}^2}=\sqrt{6^2+6^2}$

$=6\sqrt{2}$

$\overline{DA}=\sqrt{(-1-2{)}^2+(1+2{)}^2}=\sqrt{3^2+3^2}$

$=3\sqrt{2}$

কর্ণ = $\overline{AC}=\sqrt{(5-2{)}^2+(7+2{)}^2}=\sqrt{3^2+9^2}$

$=\sqrt{9+81}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$ একক

কর্ণ = $\overline{BD}=\sqrt{(-1-8{)}^2+(1-4{)}^2}=\sqrt{9^2+3^2}$

$=\sqrt{81+9}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$ একক

∴ $\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=\overline{DA}ও\overline{AC}=\overline{BD}$ [কর্ণদ্বয় সমান]

∴ ABCD একট আয়তক্ষেত্র

14. দেখাও যে, (2,5), (5,9), (9,12) ও (6,8) বিন্দুগুলি পরস্পর যোগ করলে একটি রম্বস উৎপন্ন হয়

মনে করি, A(2,5), B(5,9), C(9,12) ও D(6,8) চতুর্ভুজ ABCD এর চারটি শীর্ষবিন্দু স্থানাঙ্ক

$\overline{AB}=\sqrt{(5-2{)}^2+(9-5{)}^2}=\sqrt{3^2+4^2}$

$=\sqrt{25}$= 5 একক

$\overline{BC}=\sqrt{(9-5{)}^2+(12-9{)}^2}=\sqrt{4^2+3^2}$

$=\sqrt{25}$= 5 একক

$\overline{CD}=\sqrt{(6-9{)}^2+(8-12{)}^2}=\sqrt{3^2+4^2}$

$=\sqrt{25}$= 5 একক

$\overline{DA}=\sqrt{(2-6{)}^2+(5-8{)}^2}=\sqrt{4^2+3^2}$

$=\sqrt{25}$= 5 একক

কর্ণ = $\overline{AC}=\sqrt{(9-2{)}^2+(12-5{)}^2}=\sqrt{7^2+7^2}$

$=7\sqrt{2}$একক

∴ $\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=\overline{DA}\text{ও}\overline{AC}\ne \overline{BD}$

∴ ABCD একটি রম্বস

15. বহুপছন্দ ভিত্তিক প্রশ্নাবলী (M.C.Q)

(i) (a+b, c-d) এবং (a – b, c + d) বিন্দু দুটির মধ্যে দূরত্ব

সমাধান, A (a+b, c- d) এবং B (a – b, c + d) বিন্দু দুটির মধ্যে দূরত্ব :

$\overline{AB}=\sqrt{(a+b-a+b{)}^2+(c-d-c-d{)}^2}$ একক

$=\sqrt{(2b{)}^2+(-2d{)}^2}=\sqrt{4(b^2+d^2)}$ একক

$=2\sqrt{b^2+d^2}$

(a+b, c-d) এবং (a – b, c + d) বিন্দু দুটির মধ্যে দূরত্ব $=2\sqrt{b^2+d^2}$

(ii) (x,-7) এবং (3,-3) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 5 একক হলে x এর মান বা মানগুলি হলো

$\sqrt{(x-3{)}^2+(-7+3{)}^2}=5$

বা, x² – 6x + 9 + 16 = 25

বা, x² – 6x + 25 = 25

বা, x² – 6x = 25-25

বা, x² – 6x = 0

বা, x (x-6) = 0

x = 0 বা x-6 = 0

(iii) যদি (x,4) বিন্দুটির মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব 5 একক হয়, তাহলে x-এর মান

$\sqrt{(x-0{)}^2+(4-0{)}^2}=5$

বা, x2 + 16 = 25

বা, x2 = 9

বা, x = $\pm 3$

(iv) (3,0) (-3,0) (0,3) বিন্দু তিনটি যোগ করে যে ত্রিভুজটি উৎপন্ন হয় সেটি

A (3,0), B (-3,0), C (0,3) বিন্দু তিনটি ABC

$\overline{AB}=\sqrt{(3+3{)}^2+0^2}=\sqrt{6^2}$ = 6 একক

$\overline{BC}=\sqrt{(-3{)}^2+3^2}=\sqrt{{18}^2}=3\sqrt{2}$ একক

$\overline{CA}=\sqrt{(0-3{)}^2+(3-0{)}^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ একক

এবং $\overline{B{C}^2}+\overline{C{A}^2}=\overline{A{B}^2}$

$\mathrm{\Delta }$ ABC সমকোণী সমদ্বিবাহু

(v) একটি বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (0,0) এবং বৃত্তের উপরিস্থ একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক (3,4) হলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য

ব্যাসার্ধ = কেন্দ্র ও বৃত্তের উপরিস্থ যে কোনো বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব

$\sqrt{(3-0{)}^2+(4-0{)}^2}$

$=\sqrt{3^2+4^2}$

$=\sqrt{25}$

= 5

16. (i) মূলবিন্দু থেকে (-4,y) বিন্দুর দূরত্ব 5 একক হলে y-এর মান কত ?

$\sqrt{(-4-0{)}^2(y-0{)}^2}=5$

বা, 16 + y2 = 25

বা, y2 = 25 -16

বা, y2 = 9

বা, y2 = $\pm 3$

(ii) y -অক্ষের উপর একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লেখ যার থেকে (2,3) এবং (-1,2) বিন্দু দুটির দূরত্ব সমান

মনে করি, y -অক্ষের যে কোনো একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,a)

(2 – 0)² + (3 – a)² = (0+1)² + (2 – a)²

বা, 4 + (3 – a)² = 1 + (2 – a)²

বা, 4 + 9 – 6a + a² = 1 + 4 – 4a + a²

বা, – 6a + 4a = 1 – 9 = -8

বা, -2a = -8

বা, a = 4

বিঃদ্রঃ Class 9 Math Kose Dekhi 4  স্থানাঙ্ক জ্যামিতি অধ্যায়ের মধ্যে যদি তোমরা কোনো অঙ্কের সমাধান দেখতে না পাও অথবা কোথাও যদি ভুল খুঁজে পাও তাহলে অবশ্যই আমাদের জানাবে

স্থানাঙ্ক জ্যামিতি Nije Kori 4 Class 9

রৈখিক সহ সমীকরণ Kose Dekhi 5.1 Class 9

মধ্য শিক্ষা পর্ষদের অফিসিয়াল ওয়েবসাইট