প্রিয় ছাত্র ছাত্রী তোমাদের প্রয়োজনমত সব প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য আমরা এই estudypoint.com ওয়েবসাইট বানিয়েছি।
আজকের এই পোস্টে আমরা মধ্য শিক্ষা পর্ষদের নবম শ্রেণীর স্থানাঙ্ক জ্যামিতি : কষে দেখি 4 Class 9 এই চ্যাপ্টারের গণিতের সম্পূর্ণ উত্তর দিয়েছি।
যদি তোমাদের আরো ও গণিতের সমাধানের প্রয়োজন হয় তাহলে আমাদের এই ওয়েবসাইটের কমেন্ট বক্সে লিখে জানাবে। আমরা চেষ্টা করবো যত তাড়াতাড়ি তোমাদের প্রশ্নের উত্তর দিতে পারি।
1 . মূলবিন্দুর থেকে নিচের বিন্দুগুলির দূরত্ব নির্ণয় করো :
(i) (7,-24) (ii) (3,-4) (iii) (a+b,a-b)
(i) O = (0,0), A = (7,-24)
`\overline{OA} = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 +(y_2 – y_1)^2}`
`=\sqrt{(7-0)^2+(-24-0)^2}`
`=\sqrt{49+576}`
`=\sqrt{625}`
=25 একক
`\overline{OA} = 25` একক
(II) O=(0,0), A = (3,-4)
`\overline{OA} =\sqrt{(3-0)^2+(-4-0)^2}`
`=\sqrt{9+16}`
`=\sqrt{25}`
=5 একক
`\overline{OA} = 5` একক
(iii) O=(0,0) A=(a+b,a-b)
`\overline{OA}=\sqrt{(a+b-0)^2+(a-b-0)^2}`
`=\sqrt{(a+b)^2+(a-b)^2}`
`=\sqrt{2(a^2+b^2)}`
`\overline{OA}=\sqrt{2} \ \sqrt{a^2+b^2}`
2. নীচের বিন্দুগুলির মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করোঃ
(i) (5,7) এবং (8,3) (ii) (7,0) ও (2,-12) (iii) `(\frac{3}{2}`,0) ও (0,-2) (iv) (3,6) ও (-2,-6) (v) (1,-3) এবং (8,3) (vi) (5,7) এবং (8,3)
(i) A=(5,7), B=(8,3)
`\overline{AB} =\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}`
`=\sqrt{(8-5)^2+(3-7)^2}`
`=\sqrt{3^2+(-4)^2}`
`=\sqrt{25}`
= 5 একক
(ii) A=(7,0), B=(2,-12)
`\overline{AB} = \sqrt{(7-2)^2+(0-(-12)}`
`=\sqrt{5^2+12^2}`
`=\sqrt{169}`
=13 একক
(iii) A = `(\frac{3}{2}`,0), B = (0,-2)
`\overline{AB} = \sqrt{(\frac{3}{2})^2+(-2)^2}`
`=\sqrt{\frac{9+16}{4}}`
`=\frac{5}{2}` একক
(iv) A= (3,6) B=(-2,-6)
`\overline{AB}= \sqrt {(-2-3)^2+(-6-6)^2}`
`=\sqrt{(-5)^2+(-12)^2}`
`=\sqrt{169}`
=13 একক
(v) A= (1, -3) B= (8,3)
`\overline = \sqrt{(8-1)^2+(3-(-3)^2}`
`=\sqrt{7^2+6^2}`
`=\sqrt{49+36}`
`=\sqrt{85}`
(vi) A=(5,7), B=(8,3)
`\overline{AB} = \sqrt{(8-5)^2+(3-7)^2}`
`=\sqrt{3^2+(-4)^2}`
`=\sqrt{9+16}`
`=\sqrt{25}`
=5 একক
3. প্রমাণ করো যে,(-2,-11) বিন্দুটি (-3,7) (4,6) বিন্দুদ্বয় থেকে সমদূরবর্তী ।
মনে করি, A= (-2,-11), p=(-3,7), Q=(4,6)
`\overline{AP}=\sqrt{(-3+2)^2(7+11)^2}`
`=\sqrt{1^2+324}`
`=\sqrt{325}` একক
`\overline{AQ}=\sqrt{(4+2)^2+(6+11)^2}`
`=\sqrt{36+289}`
`=\sqrt{325}` একক
`\overline{AP}=\overline{AQ}` ….(প্রমাণিত)
4. দেখাও যে, (7,9) (3,-7), এবং (-3,3)বিন্দুগুলি একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
মনে করি, A=(7,9) B= (3,-7), C= (-3,3)
`\overline{AB^2}` = (3-7)2+(-7-0)2
= (-4)2+(-16)2 = 16+256 = 272
`\overline{AC^2}` = (-3-7)2 + (3-9)2
= (-10)2 + (-6)2
= 100 + 36 = 136
`\overline{BC^2}` = (-3-3)2 + (3-(-7)2
= (-6)2 + (10)2 = 36 + 100 = 136
`\overline{AB^2} = \overline{AC^2} + \overline {BC^2}`
5. প্রমান কর যে, উভয়ক্ষেত্রে নিচের বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু
(i) (1,4), (4,1) ও (8,8)
মনে করি, A= (1,4), B= (4,1) C= (8,8)
`\overline {AB} = \sqrt{(4-1)^2+ (1-4)^2}`
`\sqrt{3^2+(-3)^2}`
`3\sqrt{2}`
`\overline {BC} = \sqrt{(8-4)^2+ (8-1)^2}`
`\sqrt{4^2-7^2}`
`\sqrt{65}`
`\overline {CA} = \sqrt{(8-1)^2+ (8-4)^2}`
`\sqrt{49+16}`
`\sqrt{65}`
`\Delta ABC এর \ \overline{BC} = \overline {CA}`
`\Delta` ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
(ii) (-2,-2), (2,2) (4,-4)
মনে করি, A= (-2,-2), B= (2,2) C= (4,-4)
`\overline {AB} = \sqrt{2-(-2)^2 + 2-(-2)^2} `
`=\sqrt{4^2+4^2}`
`=4\sqrt{2}`
`\overline {BC} = \sqrt{(4-2)^2 + (-4-4)^2} `
`=\sqrt{2^2+6^2} \ = \sqrt{40}`
`=\overline{CA}`
`= \sqrt{(4-(-2)\big)^2 + (-4-(-2)\big)^2}`
`=\sqrt{6^2+2^2}`
`=\sqrt{40}`
`\Delta ABC এর \ \overline{BC}=\overline{CA}`
`\Delta` ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
6. প্রমান কর যে, A (3,3), B (8,-2) C (-2,-2) বিন্দু তিনটি একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু `\Delta ABC`-এর অতিভুজের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
সমাধান: A = (3,3), B = (8,-2), C = (-2,-2)
`\overline{AB^2}` = (8-3)2 + (-2-3)2 =
= 52 + (-5)2 = 25 + 25 = 50
`\overline{BC^2}` = (8+2)2 + (-2+2)2 = 102 = 100
`\overline{CA^2}` = (-2-3)2 + (-2-3)2
= (-5)2 + (-5)2 = 25 + 25 = 50
`\overline{BC^2} = \overline{AB^2} = \overline {CA^2}`
`\Delta` সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ `\overline{AB}=\overline{CA}` অতিভুজ `\(overline{BC})=\sqrt{100}=10 একক
7. দেখাও যে, (2,1), (0,0) (-1,2) এবং (1,3) বিন্দুগুলি একটি বর্গক্ষেত্রের চারটি কৌণিক বিন্দু।
`\overline{OA} = \sqrt{(2-0)^2+(1-0)^2}`
`=\sqrt{2^2+1^2}= \sqrt{4+1} = \sqrt{5}`
`\overline{OB} = \sqrt{(-1-0)^2+(2-0)^2}`
`= \sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{1+4} = \sqrt{5}`
`\overline{BC} = \sqrt{(-1-1)^2+(2-3)^2}`
`= \sqrt{(-2)^2+(-1)^2}=\sqrt{4+1}`
` = \sqrt{5}`
`\overline{AB} = \sqrt{(-1-2)^2+(2-1)^2}`
`=\sqrt{3^2+1^2}= \sqrt{4+1} = \sqrt{5}`
`\overline{OC} = \sqrt{(1-0)^2+(3-0)^2}`
`= \sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{1+9} = \sqrt{10}`
AOBC চতুর্ভুজের বাহুগুলি দৈর্ঘ্য সমান কর্ণদ্বয় `\overline{AB}` ও `\overline{OC}` এর সমান।
প্রদত্ত বিন্দু চারটি একটি বর্গক্ষেত্রের চারটি কৌণিক বিন্দু।
8. y-এর মান কি হলে (2,y) এবং (10,-9) বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব একক হবে?
প্রশ্নানুসারে: `\sqrt{(10-2)^2 + (-9-y)^2}`
বা, `\sqrt{8^2+(9+y)^2} = 10`
বা, 64 + 81 + 18y + y2 = 100
বা, y2 + 18y + 45 = 0
বা, y2 + (15+3)y + 45 = 0
বা, y2 + 15y + 3y + 45 = 0
বা, y(y+15) + 3(y+15) = 0
বা, (y+15) (y+3) = 0
y +15 = 0 বা y + 3 = 0
y = -15 বা y = -3
9. x-অক্ষের উপর এমন একটি বিন্দু নির্ণয় করো যা (3,5) ও (1,3) বিন্দু দুটি থেকে সমদূরবর্তী ।
মনে করি x অক্ষের উপর নির্ণেয় বিন্দুটি (a,0)
`\sqrt{(a-3)^2+(0-5)^2}`
` = \sqrt{(a-1)^2+(0-3)^2}`
বা, (a-3)2 + 52 = (a-1)2 + 32
বা, a2 -6a + 9 + 25 = a2 -2a + 1 + 10
বা, -4a = 11 – 34
বা, -4a = -23
বা, a = `\frac{23}{4}`
x অক্ষের উপর নির্ণেয় বিন্দুটি হল (`\frac{23}{4}, 0)
10. 0(0,0) A(4,3) এবং B(8,6) বিন্দু তিনটি সমরেখা কিনা যাচাই করো
সমরেখ হওয়ার শর্ত `\overline{OA} + \overline{AB} = \overline{OB}`
`\overline{OA}=\sqrt{(4+0)^2-(3-0)^2}`
`= \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5 `
`\overline{AB}=\sqrt{(8-4)^2-(6-3)^2}`
`= \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5 `
`\overline{OA} + \overline{AB}` = 5+5 = 10 একক …………(i)
এবং \overline{OB} = \sqrt{(8-0)^2+ (6-0)^2}`
`=\sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10` …………..(ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই, `\overline{OA}+\overline{AB}=\overline{OB}`
0, A, B বিন্দু তিনটি সমরেখ (প্রমাণিত)
11. দেখাও যে, (2,2) (-2,-2) এবং (-2√3, 2√3) বিন্দু তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু
মনে করি, ABC ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি স্থানাঙ্ক যথাক্রমে
A = (2,2), B = (-2,-2), C = (-2√3, 2√3)
`\overline{AB} = \sqrt{(-2,-2)^2 + (-2-2)^2}`
`=\sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}`একক
`\overline{CA} = \sqrt{(2+2√3)^2 + (2-2√3)^2}`
`=\sqrt{2(4+12)} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}`একক
`\overline{BC} = \sqrt{(-2√3+2)^2 + (2√3+2)^2}`
`=\sqrt{2(12+4)} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}`একক
∴`\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CA}`
∴ `\Delta` ABC ত্রিভুজটি সমবাহু (প্রমাণিত)
12. দেখাও যে, (-7,2), (19,18), (15,-6) (-11,-12) বিন্দুগুলি যোগ করলে একটি সামান্তরিক উৎপন্ন হয়
মনে করি, A(-7,2), B(19,18), C(15,-6) ও D(-11,-12) চতুর্ভুজ ABCD এর চারটি শীর্ষবিন্দু স্থানাঙ্ক
`\overline{AB}=\sqrt{(19+7)^2+(18-2)^2}=\sqrt{26^2+16^2}`
`=\sqrt{676+256} = \sqrt{932}`
`\overline{BC}=\sqrt{(15-19)^2+(-6-18)^2}=\sqrt{4^2+(24)^2}`
`=\sqrt{16+576} = \sqrt{592}`
`\overline{CD}=\sqrt{(-11-15)^2+(-12+6)^2}=\sqrt{26^2+6^2}`
`=\sqrt{676+36} = \sqrt{712}`
`\overline{DA}=\sqrt{(-7+11)^2+(-12-2)^2}=\sqrt{4^2+14^2}`
`=\sqrt{16+196} = \sqrt{212}`
`AC=\sqrt{(15+7)^2+(-8)^2}=\sqrt{22^2+64}=\sqrt{584}`
`BD = \sqrt{(30)^2+(30)^2} = \sqrt{900+900} = \sqrt{1800}`
`\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=\overline{DA}`
এবং `\overline{AC} \neq \overline{BD}`
13. দেখাও যে, (2,-2), (8,4), (5,7) এবং (-1,1) বিন্দুগুলি একটি আয়তক্ষেত্রে শীর্ষবিন্দু
`\overline{AB}=\sqrt{(8-2)^2+(4+2)^2}=\sqrt{6^2+6^2}`
`=6\sqrt{2}`
`\overline{BC}=\sqrt{(5-8)^2+(7-4)^2}=\sqrt{3^2+3^2}`
`= 3\sqrt{2}`
`\overline{CD}=\sqrt{(-1-5)^2+(1-7)^2}=\sqrt{6^2+6^2}`
`= 6\sqrt{2}`
`\overline{DA}=\sqrt{(-1-2)^2+(1+2)^2}=\sqrt{3^2+3^2}`
`=3\sqrt{2}`
কর্ণ = `\overline{AC} = \sqrt{(5-2)^2+(7+2)^2} = \sqrt{3^2+9^2}`
`=\sqrt{9+81}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}` একক
কর্ণ = `\overline{BD} = \sqrt{(-1-8)^2+(1-4)^2} = \sqrt{9^2+3^2}`
`=\sqrt{81+9}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}` একক
∴ `\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=\overline{DA} ও \overline{AC}=\overline{BD} ` [কর্ণদ্বয় সমান]
∴ ABCD একট আয়তক্ষেত্র
14. দেখাও যে, (2,5), (5,9), (9,12) ও (6,8) বিন্দুগুলি পরস্পর যোগ করলে একটি রম্বস উৎপন্ন হয়
মনে করি, A(2,5), B(5,9), C(9,12) ও D(6,8) চতুর্ভুজ ABCD এর চারটি শীর্ষবিন্দু স্থানাঙ্ক
`\overline{AB}=\sqrt{(5-2)^2+(9-5)^2}=\sqrt{3^2+4^2}`
`=\sqrt{25}`= 5 একক
`\overline{BC}=\sqrt{(9-5)^2+(12-9)^2}=\sqrt{4^2+3^2}`
`=\sqrt{25}`= 5 একক
`\overline{CD}=\sqrt{(6-9)^2+(8-12)^2}=\sqrt{3^2+4^2}`
`=\sqrt{25}`= 5 একক
`\overline{DA}=\sqrt{(2-6)^2+(5-8)^2}=\sqrt{4^2+3^2}`
`=\sqrt{25}`= 5 একক
কর্ণ = `\overline{AC} = \sqrt{(9-2)^2+(12-5)^2} = \sqrt{7^2+7^2}`
`=7\sqrt{2}`একক
∴ `\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=\overline{DA} \ও \overline{AC} \neq \overline{BD} `
∴ ABCD একটি রম্বস
15. বহুপছন্দ ভিত্তিক প্রশ্নাবলী (M.C.Q)
(i) (a+b, c-d) এবং (a – b, c + d) বিন্দু দুটির মধ্যে দূরত্ব
সমাধান, A (a+b, c- d) এবং B (a – b, c + d) বিন্দু দুটির মধ্যে দূরত্ব :
`\overline{AB} = \sqrt{(a+b-a+b)^2+(c-d-c-d)^2}` একক
`=\sqrt{(2b)^2+(-2d)^2}= \sqrt{4(b^2+d^2)}` একক
`=2\sqrt{b^2+d^2}`
(a+b, c-d) এবং (a – b, c + d) বিন্দু দুটির মধ্যে দূরত্ব `=2\sqrt{b^2+d^2}`
(ii) (x,-7) এবং (3,-3) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 5 একক হলে x এর মান বা মানগুলি হলো
`\sqrt{(x-3)^2+(-7+3)^2} = 5`
বা, x2 – 6x + 9 + 16 = 25
বা, x2 – 6x + 25 = 25
বা, x2 – 6x = 25-25
বা, x2 – 6x = 0
বা, x (x-6) = 0
x = 0 বা x-6 = 0
(iii) যদি (x,4) বিন্দুটির মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব 5 একক হয়, তাহলে x-এর মান
`\sqrt{(x-0)^2+(4-0)^2} = 5`
বা, x2 + 16 = 25
বা, x2 = 9
বা, x = `\pm3`
(iv) (3,0) (-3,0) (0,3) বিন্দু তিনটি যোগ করে যে ত্রিভুজটি উৎপন্ন হয় সেটি
A (3,0), B (-3,0), C (0,3) বিন্দু তিনটি ABC
`\overline{AB} = \sqrt{(3+3)^2+0^2} = \sqrt{6^2}` = 6 একক
`\overline{BC} = \sqrt{(-3)^2+3^2} = \sqrt{18^2} = 3\sqrt{2}` একক
`\overline{CA} = \sqrt{(0-3)^2+(3-0)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18}=3\sqrt{2}` একক
এবং `\overline{BC^2}+\overline{CA^2}=\overline{AB^2}`
`\Delta` ABC সমকোণী সমদ্বিবাহু
(v) একটি বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (0,0) এবং বৃত্তের উপরিস্থ একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক (3,4) হলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য
ব্যাসার্ধ = কেন্দ্র ও বৃত্তের উপরিস্থ যে কোনো বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব
`\sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2}`
`=\sqrt{3^2+4^2}`
`=\sqrt{25}`
= 5
16. (i) মূলবিন্দু থেকে (-4,y) বিন্দুর দূরত্ব 5 একক হলে y-এর মান কত ?
`\sqrt{(-4-0)^2(y-0)^2}=5`
বা, 16 + y2 = 25
বা, y2 = 25 -16
বা, y2 = 9
বা, y2 = `\pm3`
(ii) y -অক্ষের উপর একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লেখ যার থেকে (2,3) এবং (-1,2) বিন্দু দুটির দূরত্ব সমান
মনে করি, y -অক্ষের যে কোনো একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,a)
(2 – 0)2 + (3 – a)2 = (0+1)2 + (2 – a)2
বা, 4 + (3 – a)2 = 1 + (2 – a)2
বা, 4 + 9 – 6a + a2 = 1 + 4 – 4a + a2
বা, – 6a + 4a = 1 – 9 = -8
বা, -2a = -8
বা, a = 4
বিঃদ্রঃ উপরের সমস্ত অঙ্কগুলির পরিবর্তে কোনো Code যদি দেখতে পাও তাহলে এই পেজ টাকে একবার Refresh করে নেবে।