প্রিয় ছাত্র ছাত্রী তোমাদের প্রয়োজনমত সব প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য আমরা এই estudypoint.com ওয়েবসাইট বানিয়েছি। আজকের এই পোস্টে আমরা মধ্য শিক্ষা পর্ষদের নবম শ্রেণীর স্থানাঙ্ক জ্যামিতিঃ ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল : কষে দেখি 20 class 9 এই চ্যাপ্টারের গণিতের সম্পূর্ণ উত্তর দিয়েছি।
যদি তোমাদের আরো ও গণিতের সমাধানের প্রয়োজন হয় তাহলে আমাদের এই ওয়েবসাইটের কমেন্ট বক্সে লিখে জানাবে। আমরা চেষ্টা করবো যত তাড়াতাড়ি তোমাদের প্রশ্নের উত্তর দিতে পারি।
Kose Dekhi 20 Class 9
1. নীচের শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল প্রতিক্ষেত্রে নির্ণয় করি:
(i) (2,-2) ,(4,2) এবং (-1,3)
(x1,y1) = (2,-2)
(x2,y2) = (4,2)
(x3,y3) = (-1,3)
এবং (2,-2) ,(4,2) এবং (-1,3)
শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল –
= $\frac{1}{2}$ |x1(y2 – y3) +x2 (y3 – y1) + x3 (y1 – y2)|বর্গএকক
= $\frac{1}{2}$|2(2-3)+4{3-(-2)}+(-1)(-2-2)}| বর্গএকক
= $\frac{1}{2}$ |{2✕(-1)}+(4✕5) + {(-1)✕(-4)} | বর্গএকক
= $\frac{1}{2}$ |(-2+20+4)| বর্গএকক
= $\frac{1}{2}$ ✕ 22 বর্গএকক
= 11 বর্গএকক
(ii) (8,9) ,(2,6) এবং (9,2)
(x1,y1) = (8,9)
(x2,y2) = (2,6)
(x3,y3) = (9,2)
(8,9) ,(2,6) এবং (9,2) স্থানাঙ্কবিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= $\frac{1}{2}$ |x1(y2-y3) +x2(y3-y1)+x3(y1-y2)| বর্গএকক
= $\frac{1}{2}$ |8(6-2)+2(2-9)+9(9-6)| বর্গএকক
= $\frac{1}{2}$ |(32-14+27| বর্গএকক
= $\frac{1}{2}$ ✕ 45 বর্গএকক
= 22$\frac{1}{2}$ বর্গএকক
Kose Dekhi 20 Class 9
(iii) (1,2) ,(3,0) এবং মূলবিন্দু
প্রদত্ত বিন্দুগুলি হল – (1,2) ,(3,0) এবং মূলবিন্দু
মূলবিন্দু = (0,0)
(x1,y1) = (1,2)
(x2,y2)= (3,0)
(x3,y3) = (0,0)
(1,2) ,(3,0) এবং (0,0) স্থানাঙ্কবিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= $\frac{1}{2}$|x1(y2-y3) +x2(y3-y1)+x3(y1-y2)| বর্গএকক
= $\frac{1}{2}$|1(0-0) +3(0-2)+0(2-0)|বর্গএকক
= $\frac{1}{2}$|-6| বর্গএকক
= $\frac{1}{2}$✕ 6 বর্গএকক
= 3 বর্গএকক
2. প্রমাণ করি যে, (3,-2) , (-5,4) এবং (-1,1) বিন্দু তিনটি সমরেখ ।
(x1,y1) = (3,-2)
(x2,y2) = (-5,4)
(x3,y3) = (-1,1)
(3,-2) , (-5,4) এবং (-1,1) বিন্দু তিনটি সমরেখ অর্থাৎ তিনটি বিন্দু দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= $\frac{1}{2}$|x1(y2-y3) +x2(y3-y1)+x3(y1-y2)| বর্গএকক
=$\frac{1}{2}$ |3(4-1)+(-5){1-(-2)}+(-1)(-2-4)| বর্গএকক
= $\frac{1}{2}$ |(3✕3) + (-5)✕(3) +{(-1)✕(-6)}| বর্গএকক
= $\frac{1}{2}$ |9 – 15 +6| বর্গএকক
= 0
যেহেতু , (3,-2) , (-5,4) এবং (-1,1) বিন্দু তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 0
∴ (3,-2) , (-5,4) এবং (-1,1) বিন্দু তিনটি সমরেখ ..(প্রমাণিত)
3. K -এর মান কত হলে , (1,-1) ,(2,-1) এবং (K ,-1)বিন্দু তিনটি সমরেখ।
(x1,y1) = (1,-1)
(x2,y2) = (2,-1)
(x3,y3) = (K,-1)
(1,-1) ,(2,-1) এবং (K ,-1) বিন্দু তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
∴ $\frac{1}{2}$ |x1(y2-y3) +x2(y3-y1)+x3(y1-y2)| বর্গএকক
= $\frac{1}{2}$ |1{-1-(-1)} + 2{-1-(-1)} + (K){-1-(-1)}| বর্গএকক
= $\frac{1}{2}$ |1(-1+1) +2(-1+1)+ K(-1+1)| বর্গএকক
= $\frac{1}{2}$ |0|
= 0
সুতরাং K-এর যেকোনো বাস্তব মান এর জন্য বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় থাকবে।
4. প্রমাণ করি যে, (1,2) এবং (-2,-4) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখা মূলবিন্দুগামী।
মূলবিন্দু = (0,0)
(x1,y1) =(1,2)
(x2,y2) = (-2,-4)
(x3,y3) = (0,0)
(1,2 ), (-2 ,-4) এবং মূলবিন্দু (0,0) বিন্দু তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= $\frac{1}{2}$|x1(y2-y3) +x2(y3-y1)+x3(y1-y2)| বর্গএকক
= $\frac{1}{2}$| 1(-4-0) + (-2)(0 – 2) + 0{2-(-4)}| বর্গএকক
= $\frac{1}{2}$| (-4 +4 )| বর্গএকক
= 0
যেহেতু , (1,2 ), (-2 ,-4) এবং মূলবিন্দু (0,0) দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শুন্য।
∴ (1,2 ), (-2 ,-4) বিন্দু দ্বয়ের সংযোজক সরলরেখা মূলবিন্দুগামী।
5. প্রমাণ করি যে , (2,1) এবং (6,5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দু (-4,-5) ও (9,8 ) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশের উপর অবস্থিত।
(2,1) এবং (6,5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক = $(\frac{2+6}{2},\frac{1+5}{2})$ = (4,3)
(x1,y1)=(-4,-5)
(x2,y2) = (9,8 )
(x3,y3) = (4,3)
∴ (-4,-5) , (9,8 ) এবং (4,3) বিন্দু তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= $\frac{1}{2}$ |x1(y2-y3) +x2(y3-y1)+x3(y1-y2)|
= $\frac{1}{2}$ |-4 (8-3) + 9{3-(-5)} + 4 (-5 – 8)| বর্গএকক
= $\frac{1}{2}$| (-4)(5) + 9(8) + 4(-13)| বর্গএকক
= $\frac{1}{2}$ | -20 +72 -52| বর্গএকক
= $\frac{1}{2}$ |-72 +72| বর্গএকক
= $\frac{1}{2}$ |0| বর্গএকক
= 0 বর্গএকক
যেহেতু (-4,-5), (4,3)এবং (9,8) বিন্দু তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শুন্য।
সুতরাং (4,3) বিন্দুটি অর্থাৎ(2,1) এবং (6,5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দু (-4,-5) (9,8) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশের উপর অবস্থিত।
6. নীচের প্রতিক্ষেত্রে প্রদত্ত বিন্দু চারটির সংযোগে গঠিত চতুর্ভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি:
(i) (1,1) ,(3,4),(5,-2) ,(4,-7)
ABCD চতুর্ভুজের BC কর্ন টানলাম যা চতুর্ভূজকে দুটি ত্রিভুজের বিভক্ত করল △ABD ও △BCD
ধরি , ABCD চতুর্ভুজের A, B , C এবং D বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (1,1) , (3,4) , (5,-2) এবং (4,-7) ।
= △ABD -এর ক্ষেত্রফল + △BCD ক্ষেত্রফল
= 1/2 |1(4+7) + 3(-7-1) + 4(1-4)| + 1/2 |3(-2+7) +5(-7-4) +4(4+2)| বর্গএকক
= $\frac{1}{2}$ |1-24-12| + $\frac{1}{2}$ |15-55+24| বর্গএকক
= $\frac{25}{2} + \frac{16}{2}$ বর্গএকক
= $\frac{41}{2}$ বর্গএকক
= 20$\frac{1}{2}$ বর্গএকক
(ii) (1,4) ,(-2,1) ,(2,-3) ,(3,3)
(1,4) , (-2,1) , (2,-3) ও (3,3) বিন্দু চারটি দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল
= △ABD-এর ক্ষেত্রফল + △BCD -এর ক্ষেত্রফল
= 1/2 |1(1-3) -2(3-4) + 3(4-1) | + 1/2 | -2(-3-3) +2(3-1) +3(1+3)| বর্গএকক
= $\frac{1}{2}$ |-2+2+9| + $\frac{1}{2}$ |12+4+12| বর্গএকক
= $\frac{9}{2} + \frac{28}{2}$ বর্গএকক
= $\frac{9+28}{2} = \frac{37}{2} = 18\frac{1}{2}$ বর্গএকক
7. A,B,C বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (3,4) (-4,3) এবং (8,-6) ; ABC ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি এবং A বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধান: A(3,4), B(-4,3) এবং C(8,-6)বিন্দু তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= $\frac{1}{2}$ |3(3+6) -4(-6-4) + 8(4-3)| বর্গএকক
= $\frac{1}{2}$ | 27 + 40 + 8| বর্গএকক
= $\frac{75}{2}$ = 37.5 বর্গএকক
BC বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(-4-8)^2 + (3+6)^2}$ একক
= $\sqrt{144+81} = \sqrt{225}$ = 15 একক
△ABC এর ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times BC \times AD$
শর্তানুযায়ী, $\frac{1}{2} \times 15 \times AD = \frac{75}{2}$
AD = $\frac{75 \times 2}{15 \times 2}$
AD = 3
সুতরাং ABC ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 37.5 বর্গএকক এবনং A বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর লম্বের দৈর্ঘ্য 3 একক
8. ABC ত্রিভুজের A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (2,5) এবং ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (-2,1) হলে , BC বাহুর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি।
মনে করি, BC বাহুর মধ্যবিন্দু D-এর স্থানাঙ্ক (x,y)
আমরা জানি ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র মধ্যমাকে 2:1 অনুপাতে অন্তর্ভুক্ত করে
শর্তানুযায়ী: $\frac{2x + 1\times 2}{2+1}$ = -2
বা, 2x + 2 = -6
বা, 2x = -8
বা, x = -4
আবার, $\frac{2y + 1 \times 5}{2+1}$ = 1
বা, 2y + 5 = 3
বা, 2y = -2
বা, y = -1
BC বাহুর মধ্যবিন্দু স্থানাঙ্ক (-4,-1)
9. একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (4,-3) ,(-5,2) এবং (x,y) ; যদি ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র মূলবিন্দু হয় , তাহলে x ও y এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (4,-3) ,(-5,2) এবং (x,y)
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক = $\frac{4-5+x}{3}, \frac{-3+2+y}{3}$
= $\frac{x-1}{3}, \frac{y-1}{3}$
$\frac{x-1}{3}, \frac{y-1}{3}$ = (0,0)
বা, $\frac{x-1}{3}$ = 0
বা, x-1 = 0
বা, x =1
আবার,
$\frac{y-1}{3}$ = 0
বা, y-1 = 0
বা, y =1
সুতরাং x ও y এর মান (1,1)
10. A(-1,5) ,B( 3,1) এবং C ( 5,7) ত্রিভুজ ABC –এর শীর্ষবিন্দু । D,E,F যথাক্রমে BC ,CA এবং AB বাহুর মধ্যবিন্দু । DEF ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি এবং দেখাই যে ∆ABC = 4 ∆DEF
E বিন্দুর স্থানাঙ্ক = $(\frac{5-1}{2},\frac{7+5}{2})$ = (2,6)
F বিন্দুর স্থানাঙ্ক = $(\frac{-1+3}{2},\frac{5+1}{2})$ = (1,3)
এখন ত্রিভুজ DEF -এর ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ | 4(6-3) + 2(3-4) + 1(4-6)| বর্গএকক
= $\frac{1}{2}$ |12-2-2| বর্গএকক = 4 বর্গএকক
আবার ত্রিভুজABC এর ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ | -1(1-7) + 3(7-5) + 5(5-1)| বর্গএকক
= $\frac{1}{2}$ |6+6+20|বর্গএকক
= 16 বর্গএকক
= 4 X 4 বর্গএকক
= 4 $\times \triangle{DEF}$
11. বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন:
(i) (0,4) , (0,0) এবং (-6,0) বিন্দু তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
(a) 24 বর্গএকক (b) 12 বর্গএকক (c ) 6 বর্গএকক (d) 8 বর্গএকক
উত্তর: (b) 12 বর্গএকক
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$| 0+=-6(4-0)|বর্গএকক
= 12 বর্গএকক
(ii) (7,-5) ,(-2, 5) এবং (4,6) বিন্দু তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক
(a) (3,-2) (b) (2,3) (c ) (3,2) (d) (2,-3)
উত্তর: (c ) (3,2)
(7,-5) ও (-2,5) বিন্দু দুটির মধ্যবিন্দু স্থানাঙ্ক = $(\frac{7-2}{2},\frac{-5+5}{2})$
= $(\frac{5}{2}, 0)$
আমরা জানি ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র মধ্যমাকে 2:1 অনুপাতে বিভক্ত করে
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক = $(\frac{2\times \frac{5}{2} + 1\times 4}{2+1},\frac{2\times 0+1\times 6}{2+1})$
=$(\frac{5+4}{3}, \frac{6}{3})$
= (3,2)
(iii) ABC সমকোণী ত্রিভুজের ABC =90 ° ; A ও C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (0,4) এবং (3,0) হলে , ABC ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
(a) 12 বর্গএকক (b) 6 বর্গএকক (c ) 24 বর্গএকক (d) 8 বর্গএকক
উত্তর: (b) 6 বর্গএকক
ত্রিভুজ ABC এর A ও C বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,4) এবং (3,0) সুতরাং ত্রিভুজ ABC x ও y অক্ষের উপর অবস্থিত অর্থাৎ B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,0)
AB বাহুর দৈর্ঘ্য 4 একক এবং BC বাহুর দৈর্ঘ্য 3 একক
ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2 X 4 X 3
= 6 বর্গএকক
(iv) (0,0) ,( 4,-3) এবং (x,y) বিন্দু তিনটি সমরেখ হলে
(a) x=8,y=-6 (b) x =8,y = 6 (c ) x =4,y = -6 (d) x = -8,y = -6
উত্তর: (a) x=8,y=-6
(0,0) , (4,-3) , (x,y) বিন্দু তিনটি সমরেখ
সুতরাং বিন্দু তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শুন্য
শর্তানুযায়ী, 1/2 |0 + 4(y-0) + x(0+3)| = 0
বা, 1/2 | 4y + 3x | = 0
বা, 3x + 4y = 0
(v) ত্রিভুজ ABC এর A শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (7,-4) এবং ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (1,2) হলে , BC বাহুর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক
(a) (-2,-5) , (b ) (-2 ,5) , (c ) (2,-5) , (d) (5 ,-2)
উত্তর: (b ) (-2 ,5)
মনে করি, BC বাহুর মধ্যবিন্দু স্থানাঙ্ক (X,Y)
আমরা জানি ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রে মধ্যমাকে 2:1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে
শর্তানুযায়ী,
$\frac{2x + 1\times 7}{2+1}$ = 1
বা, 2x + 7 = 3
বা, 2x = -4
বা, x = -2
আবার, $\frac{2y +1\times (-4)}{2+1}$=2
বা, 2y -4 = 6
বা, 2y = 10
বা, y = 5