প্রিয় ছাত্র ছাত্রী তোমাদের প্রয়োজনমত সব প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য আমরা এই estudypoint.com ওয়েবসাইট বানিয়েছি।আজকের এই পোস্টে আমরা মধ্য শিক্ষা পর্ষদের নবম শ্রেণীর রৈখিক সহসমীকরণ: কষে দেখি 5.4 ক্লাস 9 (Kose Dekhi 5.4 Class 9) এই চ্যাপ্টারের গণিতের সম্পূর্ণ উত্তর দিয়েছি।
যদি তোমাদের আরো ও গণিতের সমাধানের প্রয়োজন হয় তাহলে আমাদের এই ওয়েবসাইটের কমেন্ট বক্সে লিখে জানাবে। আমরা চেষ্টা করবো যত তাড়াতাড়ি তোমাদের প্রশ্নের উত্তর দিতে পারি।
কষে দেখি 5.4 ক্লাস 9 | Kose Dekhi
(i) $\frac{x}{3} + \frac{y}{2}$ = 8 এই সমীকরণের x কে y চলের মাধ্যমে প্রকাশ কর
সমাধান: $\frac{x}{3} + \frac{y}{2}$ = 8
বা, $\frac{x}{3} = 8 – \frac{y}{2}$
বা, $\frac{x}{3} = 3(8-\frac{y}{2})$
(ii) $\frac{2}{x} + \frac{7}{y}$ = 1 এই সমীকরণের y কে x চলের মাধ্যমে প্রকাশ কর
সমাধান: $\frac{2}{x} + \frac{7}{y}$ = 1
বা, $\frac{7}{y} = 1 – \frac{2}{x}$
বা, $\frac{7}{y} = \frac{x-2}{x}$
বা, $\frac{y}{7} = \frac{x}{x-2}$
বা, y = $\frac{7x}{x-2}$
3. নিচের সহসমীকরণগুলি তুলনামূলক পদ্ধতিতে সমাধান কর ও সমাধানের মানগুলি সমীকরণগুলিকে সিদ্ধ করে কিনা যাচাই করো:
(a) 2 (x-y) = 3; 5x + 8y = 14
2 (x-y) = 3……………..(i)
বা, 2x – 2y =3
বা, 2x = 3 + 2y
বা, x = $\frac{3+2y}{2}$………….(iii)
5x + 8y = 14…………..(ii)
বা, 5x = 14 – 8y
বা, x = $\frac{14-8y}{5}$…………..(iv)
(iii) ও (iv) সমীকরণে x-কে তুলনা করে পাই
$\frac{3+2y}{2} = \frac{14-8y}{5}$
বা, 15 + 10y = 28 – 16y
বা, 10y + 16y = 28 – 15
বা, 26y = 13
বা, y = $\frac{13}{26}$
বা, y = $\frac{1}{2}$
(i) নং সমীকরণে y = $\frac{1}{2}$ বসিয়ে পাই
2 (x-y) = 3
বা, 2x – 2y =3
বা, 2x – 2 × $\frac{1}{2}$ = 3
বা, 2x – 1 = 3
বা, 2x = 3+1
বা, 2x = 4
বা, x = 2
∴ নির্ণেয় সমাধান x = 2 এবং y = $\frac{1}{2}$
x ও y এর প্রাপ্ত মান প্রদত্ত সমীকরণে বসিয়ে পাই ,
2 (x-y) = 2 × (2 – $\frac{1}{2}$) = 2 × ( $\frac{4-1}{2}$) = 2 × $\frac{3}{2}$ = 3
5x + 8y = 5 × 2 + 8 ×$\frac{1}{2}$ = 10 + 4 = 14
∴ নির্ণেয় সমাধানগুলি প্রদত্ত সমীকরণ গুলিকে সিদ্ধ করছে।
(b) 2x + $\frac{3}{y}$ = 5; 5x – $\frac{2}{y}$ = 3
2x + $\frac{3}{y}$ = 5………..(i)
বা, 2x = 5 – $\frac{3}{y}$
বা, 2x = $\frac{5y-3}{y}$
বা, x = $\frac{5y-3}{2y}$…………(iii)
আবার,
5x – $\frac{2}{y}$ = 3……………(ii)
বা, 5x = 3 + $\frac{2}{y}$
বা, 5x = $\frac{3y+2}{y}$
বা, x = $\frac{3y+2}{5y}$…………(iv)
(iii) ও (iv) নং সমীকরণে x কে তুলনা করে পাই
$\frac{5y-3}{2y} = \frac{3y+2}{5y}$
বা, $\frac{5y-3}{2} = \frac{3y+2}{5}$
বা, 25y – 15 = 6y + 4
বা, 25y – 6y = 4 + 15
বা, 19y = 19
বা, y = 1
(iii) নং সমীকরণে y=1 বসিয়ে পাই
x = $\frac{5y-3}{2y}$
= $\frac{5 × 1 – 3}{2 ×1}$
= $\frac{5-3}{2}$
= $\frac{2}{2}$ = 1
∴ নির্ণেয় সমাধান x = 1 এবং y = 1
x ও y এর প্রাপ্ত মান প্রদত্ত সমীকরণে বসিয়ে পাই ,
2x + $\frac{3}{y}$ = 2 × 1 + $\frac{3}{1}$ = 2 + 3 = 5
5x – $\frac{2}{y}$ = 5 × 1 – $\frac{2}{1}$ = 5 – 2 = 3
∴ নির্ণেয় সমাধানগুলি প্রদত্ত সমীকরণ গুলিকে সিদ্ধ করছে।
(c) $\frac{x}{2} + \frac{y}{3}$=1 ; $\frac{x}{3}+ \frac{y}{2}$ = 1
$\frac{x}{2} + \frac{y}{3}$=1 ……………..(i)
বা, $\frac{x}{2} = 1 – \frac{y}{3}$
বা, $\frac{x}{2} = \frac{3-y}{3}$
বা, x = $\frac{6-2y}{3}$ ……………(iii)
আবার,
$\frac{x}{3}+ \frac{y}{2}$ = 1 …………….(ii)
বা, $\frac{x}{3} = 1 – \frac{y}{2}$
বা, $\frac{x}{3} = \frac{2-y}{2}$
বা, x = $\frac{6 – 3y}{2}$……….(iv)
(iii) ও (iv) নং সমীকরণে x কে তুলনা করে পাই
$\frac{6-2y}{3} = \frac{6 – 3y}{2}$
বা, 12 – 4y = 18 – 9y
বা, -4y + 9y = 18 -12
বা, 5y = 6
বা, y = $\frac{6}{5}$
(iii) নং সমীকরণে y = $\frac{6}{3}$ বসিয়ে পাই
x = $\frac{6-2y}{3}$
= $\frac{6-2 × \frac{6}{5}}{3}$
= $\frac{6 – \frac{12}{5}}{3}$
= $\frac{30-12}{15}$
= $\frac{18}{15}$
x = $\frac{6}{5}$
∴ নির্ণেয় সমাধান x = $\frac{6}{5}$ ও y = $\frac{6}{5}$
x ও y এর প্রাপ্ত মান প্রদত্ত সমীকরণে বসিয়ে পাই ,
$\frac{x}{2} + \frac{y}{3}$
= $\frac{\frac{6}{5}}{2} + \frac{\frac{6}{5}}{3}$
= $\frac{6}{10} + \frac{6}{15}$
= $\frac{18+ 12}{30}$
= $\frac{30}{30}$
= 1
$\frac{x}{3}+ \frac{y}{2}$
= $\frac{\frac{6}{5}}{3}+ \frac{\frac{6}{5}}{2}$
= $\frac{6}{15} + \frac{6}{10}$
= $\frac{12+18}{30}$
= $\frac{30}{30}$ = 1
∴ নির্ণেয় সমাধানগুলি প্রদত্ত সমীকরণ গুলিকে সিদ্ধ করছে।
(d) 4x – 3y = 18 ; 4y – 5x = -7
4x – 3y = 18 ……………(i)
বা, 4x = 3y + 18
বা, x = $\frac{3y+18}{4}$…………..(iii)
4y – 5x = -7…………..(ii)
বা, -5x = -7 – 4y
বা, -(5x) = – (7+4y)
বা, 5x = 7 + 4y
বা, x = $\frac{7+4y}{5}$………..(iv)
(iii) ও (iv) নং সমীকরণে x কে তুলনা করে পাই
$\frac{3y+18}{4} = \frac{7+4y}{5}$
বা, 15y + 90 = 28 + 16y
বা, 15y – 16y = 28 – 90
বা, -y = -62
বা, y = 62
(iii) নং সমীকরণে y = 62 বসিয়ে পাই
x = $\frac{3y+18}{4}$
= $\frac{3×62+18}{4}$
= $\frac{186+18}{4}$
= $\frac{204}{4}$
x = 51
x ও y এর প্রাপ্ত মান প্রদত্ত সমীকরণে বসিয়ে পাই ,
4x – 3y
= 4 × 51 – 3 × 62
= 204 – 186 = 18
4y – 5x
= 4 × 62 – 5 × 51
= 248 – 255 = -7
∴ নির্ণেয় সমাধানগুলি প্রদত্ত সমীকরণ গুলিকে সিদ্ধ করছে।
5. নীচের দুইচলবিশিষ্ট সমীকরণগুলি তুলনামূলক পদ্ধতিতে সমাধান করিঃ
(i) 3x -2y = 2 , 7x+3y = 43
3x – 2y = 2………..(i)
বা, 3x = 2y + 2
বা, x = $\frac{2y+2}{3}$ ……….(iii)
7x+3y = 43…………..(ii)
বা, 7x = 43 – 3y
বা, x = $\frac{43-3y}{7}$ …………..(iv)
(iii) ও (iv) নং সমীকরণে x তুলনা করে পাই
$\frac{2y+2}{3} = \frac{43-3y}{7}$
বা, 14y + 14 = 129 – 9y
বা, 14y + 9y = 129 – 14
বা, 23y = 115
বা, y = 5
(iii) নং সমীকরণে y=5 বসিয়ে পাই
x = $\frac{2y+2}{3}$
= $\frac{2× 5 + 2}{3}$
= $\frac{10+2}{3}$
= $\frac{12}{3}$
x = 4
∴ নির্ণেয় সমাধান : x = 4, y = 5
(b) 2x – 3y = 8 ; $\frac{x+y}{x-y} = \frac{7}{3}$
বা, 2x – 3y = 8 ………………..(i)
বা, 2x = 3y + 8
বা, x = $\frac{3y+8}{2}$……………(iii)
$\frac{x+y}{x-y} = \frac{7}{3}$…………..(ii)
বা, 3x + 3y = 7x – 7y
বা, 3x – 7x = -7y – 3y
বা, -4x = -10y
বা, 4x = 10y
বা, x = $\frac{10y}{4}$
বা, x = $\frac{5y}{2}$………(iv)
(iii) ও (iv) নং সমীকরণে x তুলনা করে পাই
$\frac{3y+8}{2} = \frac{5y}{2}$
বা, 6y + 16 = 10y
বা, 6y – 10y = -16
বা, -4y =-16
বা, y = $\frac{-16}{-4}$
বা, y = 4
(iv) নং সমীকরণে y=4 বসিয়ে পাই
x = $\frac{5y}{2}$
= $\frac{5 × 4}{2}$
x = 10
∴ নির্ণেয় সমাধান x = 10, y = 4
(iii) $\frac{1}{3} (x-y) = \frac{1}{4} (y-1) ; \frac{1}{7} (4x-5y)$ = x-7
$\frac{1}{3} (x-y) = \frac{1}{4} (y-1)$………….(i)
$\frac{x-y}{3} = \frac{y-1}{4}$
বা, 4x – 4y = 3y -3
বা, -4y – 3y = -3 – 4x
বা, – (4y + 3y) = – (3 + 4x)
বা, 7y = 3 + 4x
বা, y = $\frac{3+4x}{7}$ …………(iii)
$\frac{1}{7} (4x-5y)$ = x-7…………..(ii)
বা, $\frac{4x-5y}{7} = x-7$
বা, 4x – 5y = 7x – 49
বা, 4x – 7x = 5y – 49
বা, 5y – 49 = 4x – 7x
বা, 5y = 49 – 3x
বা, y = $\frac{49-3x}{5}$………….(iv)
(iii) ও (iv) নং সমীকরণে y তুলনা করে পাই
$\frac{3+4x}{7} = \frac{49-3x}{5}$
বা, 15 + 20x = 343 – 21x
বা, 20x + 21x = 343 – 15
বা, 41x = 328
বা, x = 8
(iii) নং সমীকরণে x = 8 বসিয়ে পাই
y = $\frac{3+4x}{7}$
= $\frac{3 + 4 × 8}{7}$
= $\frac{3+32}{7}$
= $\frac{35}{7}$
y = 5
∴ নির্ণেয় সমাধান x = 8, y = 5
(iv) $\frac{x+1}{y+1} = \frac{4}{5} ; \frac{x-5}{y-5} = \frac{1}{2}$
$\frac{x+1}{y+1} = \frac{4}{5}$………..(i)
বা, 5x + 5 = 4y + 4
বা, 5x = 4y + 4 -5
বা, 5x = 4y -1
বা, x = $\frac{4y-1}{5}$………….(iii)
$\frac{x-5}{y-5} = \frac{1}{2}$……….(ii)
বা, 2x – 10 = y – 5
বা, 2x = y – 5 + 10
বা, 2x = y + 5
x = $\frac{y+5}{2}$………….(iv)
(iii) ও (iv) নং সমীকরণে x কে তুলনা করে পাই
$\frac{4y-1}{5} = \frac{y+5}{2}$
বা, 8y – 2 = 5y + 25
বা, 8y – 5y = 25 + 2
বা, 3y = 27
বা, y = $\frac{27}{3}$
বা, y = 9
(iv) নং সমীকরণে y=9 বসিয়ে পাই
x = $\frac{y+5}{2}$
= $\frac{9+5}{2}$
= $\frac{14}{2}$
x = 7
∴ নির্ণেয় সমাধান x = 7 , y = 9
(v) x + y = 11 ; y + 2 = $\frac{1}{8}$ (10y + x)
x + y = 11……….(i)
বা, x = 11 – y ……..(iii)
বা, y + 2 = $\frac{1}{8}$ (10y + x)………….(ii)
বা, y + 2 = $\frac{10y+x}{8}$
বা, 8y + 16 = 10y + x
বা, 8y – 10y = x – 16
বা, -2y = x – 16
বা, x – 16 = -2y
বা,x = 16 – 2y………….(iv)
(iii) ও (iv) নং সমীকরণে x কে তুলনা করে পাই
11 – y = 16 – 2y
বা, -y + 2y = 16 -11
y = 5
(iii) নং সমীকরণে y = 5 বসিয়ে পাই
x = 11 – y
= 11 – 5
x = 6
∴ নির্ণেয় সমাধান x = 6 , y = 5
(vi) $\frac{x}{3} + \frac{y}{4}$ = 1 ; 2x + 4y = 11
$\frac{x}{3} + \frac{y}{4}$ = 1………….(i)
বা, $\frac{4x + 3y}{12}$ = 1
বা, 4x + 3y = 12
বা, 4x = 12 – 3y
বা, x = $\frac{12-3y}{4}$………..(iii)
2x + 4y = 11 ……….(ii)
বা, 2x = 11 – 4y
বা, x = $\frac{11-4y}{2}$…………..(iv)
(iii) ও (iv) নং সমীকরণে x-কে তুলনা করে পাই
$\frac{12-3y}{4} = \frac{11-4y}{2}$
বা, 24 – 6y = 44 – 16y
বা, – 6y + 16y = 44 – 24
বা, 10y = 20
বা, y = $\frac{20}{10}$
বা, y = 2
(iii) নং সমীকরণে y=2 বসিয়ে পাই
x = $\frac{12-3y}{4}$
= $\frac{12 – 3 × 2 }{4}$
= $\frac{12 – 6}{4}$
= $\frac{6}{4}$
x = $\frac{3}{2}$
∴ নির্ণেয় সমাধান x = $\frac{3}{2}$ , y = 2
(vii) x + $\frac{2}{y}$ = 7 ; 2x – $\frac{6}{y}$ = 9
x + $\frac{2}{y}$ = 7……………(i)
বা, x = 7 – $\frac{2}{y}$
বা, x = $\frac{7y – 2}{y}$………….(iii)
2x – $\frac{6}{y}$ = 9 ……….(ii)
বা, 2x = 9 + $\frac{6}{y}$
বা, 2x = $\frac{9y+6}{y}$
বা, x = $\frac{9y+6}{2y}$…………(iv)
(iii) ও (iv) নং সমীকরণে x কে তুলনা করে পাই
$\frac{7y – 2}{y} = \frac{9y+6}{2y}$
বা, 7y – 2 = $\frac{9y + 6}{2}$
বা, 14y – 4 = 9y + 6
বা, 14y – 9y = 6 + 4
বা, 5y = 10
বা, y = 2
(iii) নং সমীকরণে y=2 বসিয়ে পাই
x = $\frac{7y – 2}{y}$
= $\frac{7 × 2 – 2}{2}$
= $\frac{14 – 2}{2}$
= $\frac{12}{2}$
x = 6
∴ নির্ণেয় সমাধান x = 6 , y = 2
(viii) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}$ ; $\frac{1}{x} – \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}$…………..(i)
বা, $\frac{1}{x} = \frac{5}{6} – \frac{1}{y} $…….(iii)
$\frac{1}{x} – \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$ ………(ii)
বা, $\frac{1}{x} = \frac{1}{6} + \frac{1}{y}$ …..(iv)
(iii) ও (iv) নং সমীকরণে $\frac{1}{x}$ কে তুলনা করে পাই
$\frac{5}{6} – \frac{1}{y} = \frac{1}{6} + \frac{1}{y}$
বা, $\frac{1}{y} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6} – \frac{1}{6}$
বা, $\frac{2}{y} = \frac{4}{6}$
বা, $\frac{2}{y} = \frac{2}{3}$
বা, 2y = 6
বা, y = 3
(i) নং সমীকরণে y=3 বসিয়ে পাই
$\frac{1}{x} = \frac{5}{6} – \frac{1}{y} $
বা, $\frac{1}{x} = \frac{5}{6} – \frac{1}{3}$
বা, $\frac{1}{x} = \frac{5 – 2}{6}$
বা, $\frac{1}{x} = \frac{3}{6}$
বা, $\frac{1}{x} = \frac{1}{2}$
বা, x = 3
∴ নির্ণেয় সমাধান x = 2 , y = 3
(ix) $\frac{x+y}{xy}$ = 2 ; $\frac{x-y}{xy}$ = 1
বা, $\frac{x+y}{xy}$ = 2 ……..(i)
বা, $\frac{x}{xy} + \frac{y}{xy}$ = 2
বা, $\frac{1}{y} + \frac{1}{x}$ = 2
বা, $\frac{1}{y} = 2 – \frac{1}{x}$ ……….(iii)
$\frac{x-y}{xy}$ = 1 ………(ii)
বা, $\frac{x}{xy} – \frac{y}{xy}$ = 1
বা, $\frac{1}{y} – \frac{1}{x}$ = 1
বা, $\frac{1}{y} = 1 + \frac{1}{x}$………..(iv)
(iii) ও (iv) নং সমীকরণে $\frac{1}{y}$ কে তুলনা করে পাই
$2 – \frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{x}$
বা, 2 -1 = $\frac{1}{x} + \frac{1}{x}$
বা, 1 = $\frac{2}{x}$
x = 2
(iii) নং সমীকরণে x=2 বসিয়ে পাই
বা, $\frac{1}{y} = 2 – \frac{1}{x}$
বা, $\frac{1}{y} = 2 – \frac{1}{2}$
বা, $\frac{1}{y} = \frac{4-1}{2}$
বা, $\frac{1}{y} = \frac{3}{2}$
বা, y = $\frac{2}{3}$
∴ নির্ণেয় সমাধান x = 2 , y = $\frac{2}{3}$
(x) $\frac{x+y}{5} + \frac{x-y}{4} = 5 , \frac{x+y}{4} + \frac{x-y}{5} = 5\frac{4}{5}$
$\frac{x+y}{5} + \frac{x-y}{4} = 5$ ………..(i)
বা, $\frac{4x + 4y + 5x – 5y}{20}$ = 5
বা, 9x – y = 100
বা, 9x = 100 + y
বা, x = $\frac{100 + y}{9}$ ……….(iii)
$\frac{x+y}{4} + \frac{x-y}{5} = 5\frac{4}{5}$ ………(ii)
বা, $\frac{5x + 5y + 4x – 4y}{20} = \frac{29}{5}$
বা, $\frac{9x + y}{20} = \frac{29}{5}$
বা, 9x + y = 116
বা, 9x = 116 – y
বা, x = $\frac{116-y}{9}$ …………(iv)
(iii) ও (iv) নং সমীকরণে x কে তুলনা করে পাই
$\frac{100 + y}{9} = \frac{116-y}{9}$
বা, 100 + y = 116 – y
বা, y + y = 116 – 100
বা, 2y = 16
বা, y = 8
(iii) নং সমীকরণে y = 8 বসিয়ে পাই
x = $\frac{100 + y}{9}$
= $\frac{100 + 8}{9}$
= $\frac{108}{9}$
x = 12
∴ নির্ণেয় সমাধান x = 12 , y = 8
(xi) $\frac{4}{x} – \frac{y}{2}$ = -1 ; $\frac{8}{x}$ + 2y = 10
$\frac{4}{x} – \frac{y}{2}$ = -1……..(i)
$\frac{4}{x} = \frac{y}{2} – 1$
$\frac{4}{x} = \frac{y – 2}{2}$
$\frac{1}{x} = \frac{y-2}{8}$ …………(iii)
$\frac{8}{x}$ + 2y = 10 …………(ii)
$\frac{8}{x}$ = 10 – 2y
$\frac{1}{x} = \frac{10-2y}{8}$………..(iv)
(iii) ও (iv) নং সমীকরণে $\frac{1}{x}$ কে তুলনা করে পাই
$ \frac{y-2}{8}$ = \frac{10-2y}{8}$
বা, y-2 = 10 – 2y
বা, y + 2y = 10 + 2
বা, 3y = 12
বা, y = 4
(iii) নং সমীকরণে y=4 বসিয়ে পাই
$\frac{1}{x} = \frac{y-2}{8}$
বা, $\frac{1}{x} = \frac{y-2}{8}$
বা, $\frac{1}{x} = \frac{4 – 2}{8}$
বা, $\frac{1}{x} = \frac{2}{8}$
বা, $\frac{1}{x} = \frac{1}{4}$
বা, x = 4
∴ নির্ণেয় সমাধান x = 4 , y = 4
(xii) 2 -2 (3x – y) = 10 (4-y) – 5x = 4 (y-x)
2 -2 (3x – y) = 10 (4-y) – 5x…………..(i)
বা, 2 – 6x + 2y = 40 – 10y – 5x
বা, 2y + 10y = – 5x + 6x – 2 + 40
বা, 12y = x + 38
বা, y = $\frac{x+38}{12}$ …………..(iii)
10 (4-y) – 5x = 4 (y-x),………….(ii)
বা, 40 – 10y – 5x = 4y – 4x
বা, 40 – 5x + 4x = 4y + 10y
বা, 40 -x = 14y
বা, 14y = 40 – x
বা, y = $\frac{40-x}{14}$ ………………(iv)
(iii) ও (iv) নং সমীকরণে y কে তুলনা করে পাই
$\frac{x+38}{12} = \frac{40-x}{14}$
বা, $\frac{x+38}{6} = \frac{40-x}{7}$
বা, 7x + 266 = 240 – 6x
বা, 7x + 6x = 240 – 266
বা, 13x = -26
বা, x = -2
(iii) নং সমীকরণে x=-2 বসিয়ে পাই
y = $\frac{x+38}{12}$
= $\frac{-2 + 38}{12}$
= $\frac{36}{12}$
y = 3
∴ নির্ণেয় সমাধান x = -2 , y = 3