।আজকের এই পোস্টে আমরা মধ্য শিক্ষা পর্ষদের দশম শ্রেণীর একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি 1.1 ক্লাস 10 (Kose Dekhi 1.1 Class 10) এই চ্যাপ্টারের গণিতের সম্পূর্ণ উত্তর দিয়েছি।
যদি তোমাদের আরো ও গণিতের সমাধানের প্রয়োজন হয় তাহলে আমাদের এই ওয়েবসাইটের কমেন্ট বক্সে লিখে জানাবে। আমরা চেষ্টা করবো যত তাড়াতাড়ি তোমাদের প্রশ্নের উত্তর দিতে পারি।
কষে দেখি 1.1 ক্লাস 10 | Kose Dekhi
1.নিচের বহুপদী সংখ্যামালা গুলির মধ্যে কোনটি/কোনগুলি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যা মালা বুঝে লিখি।
(i) x2 – 7x + 2
উত্তর: এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা
(ii) 7x5 – x (x+2)
উত্তর: এটি বহুপদী সংখ্যামালা হলেও দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়
(iii) 2x (x+5) + 1
উত্তর: এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা
(iv) 2x – 1
উত্তর: এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়
2. নীচের সমীকরণগুলির কোনটি ax2 + bx + c = 0 যেখানে a,b,c বাস্তব সংখ্যা এবং a≠0 আকারে লেখা যায় তা লিখি।
(i) x – 1 + $\frac{1}{x}$ = 6 (x≠0)
বা, $\frac{x^2 – x+1}{x}$ = 6
বা, x2 – x + 1 = 6x
বা, x2 – 7x + 1 = 0
ax2 + bx + c = 0
যেখানে a,b,c বাস্তব সংখ্যা এবং a≠0
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax2+bx+c আকারে প্রকাশ করা যাবে ।
(ii) x + $\frac{3}{x}$ = x2 (x≠0)
বা, $\frac{x^2 + 3}{x}$ = x2
বা, x2 + 3 = x3
বা, x2 – x3 + 3
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax2+bx+c আকারে প্রকাশ করা যাবে না ।
(iii) $x^2 – 6 \sqrt{x} + 2 = 0$
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax2+bx+c আকারে প্রকাশ করা যাবে না ।
(iv) (x-2)2 = x2 – 4x + 4
বা, x2 – 4x + 4 = x2 – 4x + 4
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax2+bx+c আকারে প্রকাশ করা যাবে না।
3. x6 – x3 – 2 = 0 সমিকরণকে চলের কোন ঘাটের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করো ।
উত্তর: x3 = y ধরলে x6 – x3 – 2 = 0 সমিকরণকে আমরা এইভাবে লিখতে পারি, y2 – y – 2 = 0 ইহা একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
4. (i) (a-2)x2 + 3x + 5 =0 সমীকরনটি a-এর কোন মানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করি।
উত্তর: a-এর মান 2 হলে সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না।
(ii) $\frac{x}{4-x} = \frac{1}{3x}$, (x≠0 , x≠4) কে ax2+bx+c=0 (a≠0) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করলে x-এর সহগ কত হবে নির্ণয় করি।
$\frac{x}{4-x} = \frac{1}{3x}$
বা, 3x2 = 4 – x
বা, 3x2 + x – 4 = 0
x-এর সহগ 1
(iii) 3x2 + 7x + 23 = (x+4) (x+3) + 2 কে ax2+bx+c=0 (a≠0) দ্বিঘাত আকারে প্রকাশ করি
সমাধান:
বা, 3x2 + 7x + 23 = (x+4) (x+3) + 2
বা, 3x2 + 7x + 23 = x2 + 3x + 4x + 12 + 2
বা, 3x2 + 7x + 23 = x2 + 7x + 14
বা, 3x2 – x2 + 7x – 7x + 23 – 14= 0
বা, 2x2 + 9 = 0
বা, 2x2 + 0.x + 9 = 0
দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ রূপ = 2x2 + 0.x + 9 = 0
5. নিচের বিবৃতি গুলি থেকে একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।
(i) 42- কে এমন দুটি অংশে বিভক্ত করি যাতে এক অংশ ওপর অংশের বর্গের সমান হয়।
মনে করি একটি অংশ x এবং ওপর অংশটি x2
প্রশ্নানুসারে:
বা, x2 + x = 42
বা, x2 + x – 42 = 0
বা, x2 + (7-6)x – 42 = 0
বা, x2 + 7x – 6x – 42 = 0
বা, x (x+7) – 6 (x+7) = 0
বা, (x+7) (x-6) = 0
∴ x+7 =0
x = -7
আবার, x-6 =0
x= 6
∴ x= -7 গ্রহনযোগ্য নয় অর্থাৎ x = 6
42 কে 6 এবং 62 = 36 এই দুইভাগে বিভক্ত করতে হবে
∴নির্ণেয় সমীকরণ x2 = 42 -x
(ii) দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুনফল 143
মনে করি, একটি x ও অপরটি x+2
প্রশ্নানুসারে:
x(x+2) = 143
(iii) দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 313
মনে করি, একটি সংখ্যা x ও অপরটি (x+1)
প্রশ্নানুসারে:
x2 + (x+1)2 = 313
6. নিচের বিবৃতি গুলি থেকে একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।
(i) একটি আয়তকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং তার দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 3 মিটার বেশি।
ধরি আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = x এবং দৈর্ঘ্য = x+3 মিটার
আয়তাকার ক্ষেত্রের করনের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{x^2 + (x+3)^2}$ মিটার
প্রশ্নানুসারে:
$\sqrt{x^2 + (x+3)^2}$ = 15
বা, $\sqrt{x^2 + x^2 + 6x + 9}$ = 15
বা, $\sqrt{2x^2 + 6x + 9}$ = 15
বা, 2x2 + 6x + 9 = 225
বা, 2x2 + 6x + 9 – 225 = 0
বা, 2x2 + 6x – 216 = 0
বা, 2 ( x2 + 3x – 108) = 0
বা, x2 + 3x – 108 = 0
(ii) এক ব্যাক্তি 80 টাকায়ে কয়েক কিগ্রা চিনি ক্রয় করলেন। যদি ওই টাকায়ে তিনি আর ও 4 কিগ্রা চিনি বেশি পেতেন তবে তার কিগ্রা প্রতি চিনির দাম 1 টাকা কম হত।
সমাধান:
ধরি, x কিগ্রা চিনির ক্রয়মূল্য 80 টাকা
1 কিগ্রা চিনির ক্রিয়্মুল্য $\frac{80}{x}$ টাকা
চিনির দাম কেজি প্রতি 1 টাকা কম হলে 1kg চিনির দাম = $(\frac{80}{x} -1)$ টাকা এবং সেক্ষেত্রে চিনি পাবে (x+4) কেজি
প্রশ্নানুসারে:
(x+4) $(\frac{80}{x} -1)$ = 80
বা, (x+4) $(\frac{80-x}{x})$ = 80
বা, $\frac{80x + 320 + x^2 + 4x}{x}$ = 80
বা, x2 + 84x + 320 = 80x
বা, x2 + 84x + 320 – 80x = 0
বা, x2 + 4x + 320 = 0
দ্বিঘাত সমীকরনটি হবে x2 + 4x + 320 = 0
(iii) দুটি স্টেশন এর মধ্যে দূরত্ব 300 km ।একটি ট্রেন প্রথম স্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিতীয় স্টেশন এ গেল । ট্রেন টির গতিবেগ ঘণ্টায়ে 5km বেশি হলে ট্রেন টির দ্বিতীয় স্টেশন এ যেতে 2 ঘণ্টা সময় কম লাগত ।
সমাধান:
ধরি, ট্রেনের গতিবেগ = x কিমি/ঘন্টা
দূরত্ব = 300 কিমি
সময় = $\frac{300}{x}$ ঘন্টা
এখন ট্রেনের গতিবেগ = x+5 কিমি/ঘন্টা
ট্রেনের সময় = $\frac{300}{x+5}$ ঘন্টা
প্রশ্নানুসারে:
$\frac{300}{x} – \frac{300}{x+5}$ = 2
বা, $\frac{300x + 1500 – 300x}{x(x+5)}$ = 2
বা, $\frac{1500}{x^2+5x}$ = 2
বা, x2 + 5x = $\frac{1500}{2}$
বা, x2 + 5x – 750 = 0
দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে x2 + 5x – 750 = 0
(iv) একজন ঘড়ি বিক্রেতা একটি ঘড়ি ক্রয় করে 336 টাকায়ে বিক্রি করলেন। তিনি যত টাকায়ে ঘড়ি টি ক্রয় করেছিলেন শতকরা তত টাকা তার লাভ হল।
সমাধান:
ধরি, ক্রয়মূল্য x টাকা ও লাভ = x%
মোট লাভ = $\frac{x+x}{100} = \frac{x^2}{100}$ টাকা
বিক্রয়মূল্য = x + $\frac{x^2}{100}$ = 336
বা, $\frac{100x + x^2}{100}$ = 336
বা, 100x + x2 = 33600
বা, x2 + 100x – 33600 = 0
দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে x2 + 100x – 33600 = 0
(v) স্রোতের বেগ ঘণ্টায়ে 2 কিমি হলে, রতন মাঝি স্রোতের অনুকুলে 21 কিমি গিয়ে ওই দূরত্ব ফিরে আস্তে 10 ঘণ্টা সময় লাগে।
সমাধান:
ধরি, স্থির জলে x কিমি/ঘন্টা স্রোতের অনুকূলে বেগ = (x+2) কিমি/ঘন্টা
স্রোতের অনুকূলে বেগ = (x+2) কিমি /ঘন্টা
স্রোতের প্রতিকূলে বেগ = (x-2) কিমি/ঘন্টা
প্রশ্নানুসারে:
$\frac{21}{x+2} + \frac{21}{x-2}$ = 10
বা, $\frac{21x-42+21x+42}{(x+2)(x-2)}$ = 10
বা, $\frac{42x}{x^2-4}$ = 10
বা, 10x2 – 40 = 42x
বা, 10x2 – 42x – 40 = 0
বা, 2(5x2 – 21x – 20) = 0
বা, 5x2 – 21x – 20 = 0
দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে 5x2 – 21x – 20 = 0
(vi) আমাদের বারির বাগান পরিষ্কার করতে মহিম অপেহ্মা মজিদের 3 ঘণ্টা বেশি সময় লাগে । তারা উভয় একসঙ্গে কাজটি 2 ঘণ্টায়ে শেষ করতে পারে ।
সমাধান:
মনে করি, মহিম কাজটি করে x ঘন্টায়
মহিম কাজটি করে (x+3) ঘন্টায়
মজিদ x ঘন্টায় করে কাজটির 1 অংশ
1 ঘন্টায় করে কাজটির $\frac{1}{x}$ অংশ
অনুরূপে মহিম 1 ঘন্টায় করে কাজটির $\frac{1}{x+3}$ অংশ
দুজনে 1 ঘন্টায় মোট কাজ করে $(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+3})$ অংশ
আবার, দুজনে 2 ঘন্টায় করে কাজটির 1 অংশ
দুজনে 1 ঘন্টায় করে কাজটির $\frac{1}{2}$ অংশ
প্রশ্নানুসারে:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+3} = \frac{1}{2}$
বা, $\frac{x+3 + x}{x(x+3)} = \frac{1}{2}$
বা, $\frac{2x +3}{x^2+ 3x} = \frac{1}{2}$
বা, x2 + 3x = 4x + 6
বা, x2 + 3x – 4x – 6 = 0
বা, x2 – x – 6= 0
(vii) দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক টি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেহ্মা 6 বেশি এবং অঙ্ক দ্বয়ের গুনফল সংখ্যাটি থেকে 12 কম ।
সমাধান:
মনে করি, দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার দশক স্থানের অঙ্কটি হল x
∴ একক স্থানের অঙ্কটি হল (x+6)
∴ সংখ্যাটি (10x + x + 6)
∴ অঙ্কটির গুনফল x(x+6)
প্রশ্নানুসারে:
x(x+6) = (10x + x + 6) -12
বা, x2 + 6x = 10x + x + 6 – 12
বা, x2 + 6x – 10x – x – 6 + 12 = 0
বা, x2 – 5x + 6 = 0
(viii) 45 মিটার দীর্ঘ ও 40 মিটার প্রসস্থ একটি আয়তক্ষেত্রাকার খেলার মাঠের বাইরের চারপাশে সমান চওড়া একটি রাস্তা আছে এবং ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল 450 বর্গ মিটার ।
সমাধান:
আয়তাকার খেলার মাঠের দৈর্ঘ্য 45 মিটার প্রস্থ 40 মিটার
∴ আয়তাকার খেলার মাঠের ক্ষেত্রফল = (45 × 40) বর্গমিটার
মনে করি, আয়তাকার খেলার মাঠের চারদিকে x মিটার চওড়া পথ আছে
পথসহ মাঠের দৈর্ঘ্য = (45 + 2 × x) = (45 + 2x) মিটার
পথসহ মাঠের প্রস্থ = (40 + 2 × x) = (40 + 2x) মিটার
∴ পথসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = (45 + 2x) × (40 + 2x) বর্গমিটার
∴ পথের ক্ষেত্রফল = {(45 + 2x) × (40 + 2x) – (45 × 40)} বর্গমিটার
প্রশ্নানুসারে:
{(45 + 2x) × (40 + 2x) – (45 × 40)} = 450
বা, 1800 + 90x + 80x + 4x2 – 1800 = 450
বা, 4x2 + 170x – 450 = 0
বা, 2 (2x2 + 85x – 225) = 0
বা, 2x2 + 85x – 225 = 0
TNX sir 🙏🙏