কষে দেখি 15.2 ক্লাস 9 | Koshe Dekhi 15.2 Class 9 | ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল

প্রিয় ছাত্র ছাত্রী তোমাদের প্রয়োজনমত সব প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য আমরা এই estudypoint.com ওয়েবসাইট বানিয়েছি। আজকের এই পোস্টে আমরা মধ্য শিক্ষা পর্ষদের নবম শ্রেণীর ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল : কষে দেখি 15.2 ক্লাস 9 এই চ্যাপ্টারের গণিতের সম্পূর্ণ উত্তর দিয়েছি।

যদি তোমাদের আরো ও গণিতের সমাধানের প্রয়োজন হয় তাহলে আমাদের এই ওয়েবসাইটের কমেন্ট বক্সে লিখে জানাবে। আমরা চেষ্টা করবো যত তাড়াতাড়ি তোমাদের প্রশ্নের উত্তর দিতে পারি।


1. নীচের ছবিগুলির ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।

নীচের ছবিগুলির ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি

(i) ABC ত্রিভুজটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ যার AB=BC=CA=10 সেমি.

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = `\frac{\sqrt{3}}{4} \times` (বাহু)2

= `\frac{\sqrt{3}}{4} \times (10)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 100 = 25\sqrt{3}`


(ii) ABC ত্রিভুজের AB = AC = 10 সেমি. এবং BC = 8 সেমি.

= 12 `\times 8 \times \sqrt{(10)^2 – \frac{8^2}{4}}`

= 4 `\times \sqrt{100 – \frac{64}{4}}`

= 4 x `\sqrt {100 – 16} = 4 \times \sqrt{84} = 8 \sqrt{21}`

= ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 8`\sqrt{21}` বর্গসেমি.


(iii) ABCD চতুর্ভুজের AD || BC

∴ ABCD একটি ট্রাপিজিয়াম ।

আবার , CD ⊥ AD এবং CD ⊥ BC

∴ CD , ABCD ট্রাপিজিয়ামের  উচ্চতা ।

ABCD ট্রাপিজিয়ামের  ক্ষেত্রফল

= `\frac{1}{2}`  ✕ (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল ) ✕ উচ্চতা

= `\frac{1}{2}` ✕ (AD + BC) ✕ CD

= { `\frac{1}{2}` ✕(5+4) ✕ 3 } বর্গ সেমি.

= `\frac{27}{2}` বর্গ সেমি.

= 13.5 বর্গ সেমি.


(iv) ABCD ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল

= `\frac{1}{2} \times (40 + 15) \times 9` বর্গ সেমি

= `\frac{1}{2} \times 55 \times` বর্গ সেমি

= 247.5 বর্গ সেমি


(v) ABCD চতুর্ভুজের AB || DC এবং AD || BC , অর্থাৎ বিপরীত বাহুগুলি পরস্পর সমান্তরাল এবং ∠ADC = 90

∴ ABCD একটি আয়তক্ষেত্র

এখন , ADC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই ,

AD2 +CD2 = AC2

বা, AD2 + (38)2 = (42)2

বা, AD2 = (42)2 –(38)2

বা, AD= (42+38) (42-38)

বা, AD2 = 80 ✕ 4

বা, AD2 = 320

বা, AD = 8√5


2. কোনো সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 48 সেমি. হলে তার ক্ষেত্রফল  হিসাব করে লিখি ।

সমাধান :

সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 48 সেমি

সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য = `\frac{48}{3}` = 16 সেমি

সমবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = `\frac{\sqrt{3}}{4} \times (16^2)` বর্গ সেমি

= `\frac{\sqrt{3} \times 16 \times 16}{4}` বর্গসেমি

= 64√3


3. ABC সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা 5√3 সেমি. হলে  , ত্রিভুজটির পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।

সমাধান:

সমবাহু ত্রিভুজটির উচ্চতা 5√3 সেমি

শর্তানুযায়ী, `\frac{\sqrt{3}}{2} \times` বাহু = 5√3

বা, বাহু = `\frac{5\sqrt{3} \times 2}{\sqrt{3}}`

বা, বাহু = 10

ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য 10 সেমি

ত্রিভুজটির পরিসীমা = (3 x 10) = 30 সেমি

এবং উহার ক্ষেত্রফল = `\frac{\sqrt{3}}{4} \times (10^2)` বর্গসেমি

= 253


4. ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদুটির প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 10 সেমি. এবং ভূমির দৈর্ঘ্য 4 সেমি হলে , ABC এর ক্ষেত্রফল  হিসাব করে লিখি ।

সমাধান:

আমরা জানি, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

= 1/2 x ভূমির দৈর্ঘ্য x (সমান বাহুর একটির দৈর্ঘ্য)2(ভূমির দৈর্ঘ্যর অর্ধেক)2

= `\frac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{(10)^2 – (2)^2}`

= 296

= 86

ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 86 বর্গসেমি


5. যদি কোনো সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য 12 সেমি. এবং সমান বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 10 সেমি. হয় ,  তবে ওই সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হিসাব  করে লিখি ।

সমাধান:

আমরা জানি, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

= 1/2 x ভূমির দৈর্ঘ্য x (সমান বাহুর একটির দৈর্ঘ্য)2(ভূমির দৈর্ঘ্যর অর্ধেক)2

= `\frac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{(10)^2 – 2^2}`

= 296 = 86


6. কোনো সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 544 সেমি. এবং সমান বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য ভূমির দৈর্ঘ্যের 5/6 অংশ ;  ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।

সমাধান:

মনে করি, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য a সেমি

সমান বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য = `\frac{5a}{6}`

আবার সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির পরিসীমা 544 সেমি

শর্তানুযায়ী,

a + (2 x 5a/6) = 544

বা, a + 5a/3 = 544

বা, `\frac{3a + 5a}{3} = 544

বা, 8a = 1632

বা, a = 204

এবং সমান বহু দুটির প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য = `\frac{5 \times 204}{6}` = 160 সেমি

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = `\frac{1}{2} \times 204 \times \sqrt{(170)^2 – (\frac{204}{2})^2}` বর্গসেমি

= 102 x `\sqrt{(170)^2 – (102)^2}`

= 102 x `\sqrt{272 \times 68}`

= 102 x `\sqrt{16 \times 17 \times 4 \times 17}`

= 102 x 4 x 17 x 2

= 12872 বর্গসেমি


7. একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 12√2 সেমি. হলে,  ত্রিভুজটির  ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।

সমাধান:

7. একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 12√2 সেমি. হলে,  ত্রিভুজটির  ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।

মনে করি, ABC একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার AB = BC এবং অতিভুজ AC = 122

শর্তানুযায়ী, 2AB2 = AC2

বা, 2AB2 = (122)2

বা, 2AB2 = 144 x 2

বা, AB2 = 144

বা, AB = 12

AB = BC = 12 সেমি

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (`\frac{1}{2}` X 12 X 12) = 72 বর্গসেমি


8. পৃথা একটি সামান্তরিক এঁকেছে যার কর্ণদ্বয়ের  দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 6 সেমি. ও 8 সেমি. এবং  কর্ণদ্বয়ের মধ্যবর্তী  কোণগুলির প্রত্যেকটি 90°;  সামান্তরিকের বাহুগুলির  দৈর্ঘ্য লিখি এবং সামান্তরিকটির বৈশিষ্ট্য লিখি ।

সমাধান:

Parallelogram

যেহেতু সামান্তরিক কর্ন্দ্বয়ের মধ্যবর্তী কোনগুলি প্রত্যেকটি 90° সুতরাং সামান্তরিক আয়াত্ক্ষেত্রে বা রম্বস|

কিন্তু সামান্তরিক কর্ন্দ্বয়ের দৈর্ঘ্য ভিন্ন

সুতরাং সামান্তরিক আয়াত্খেত্রে নয় ইহা একটি রম্বস

স্পষ্ট আমরা দেখতে পাচ্ছি, কর্ন AC = 6 সেমি এবং BD = 8 সেমি

আমরা জানি , রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদিখন্দিত করে

AO = OC = 3 সেমি

এবং BO = OD = 4 সেমি

এখন OCD সমকোণী ত্রিভুজ হতে পাই

CD2 = OC2 + OD2

CD2 = 32 + 42

CD2 = 9 + 16 = 25

CD = 5

সুতরাং সামান্তরিকের বাহুগুলি প্রত্যেকের দৈর্ঘ্য 5 সেমি এবং সামান্তরিকের একটি রম্বস


9. আমাদের পাড়ার ত্রিভুজাকৃতি একটি পার্কের বাহুগুলির দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:3:4 ; পার্কটির পরিসীমা 216 মিটার ।

(i) হিসাব করে পার্কটির ক্ষেত্রফল লিখি ।

(ii) পার্কটির বৃহত্তম বাহুর বিপরীত  বিন্দু থেকে ওই বাহুতে সোজাসুজি যেতে কত পথ হাঁটতে হবে হিসাব করে লিখি ।

সমাধান:

(i) ত্রিভূজাকৃতি পার্কটির বাহুগুলির দৈর্ঘ্য অনুপাত = 2 : 3 : 4

মনেকরি, পার্কটির বাহুগুলির দৈর্ঘ্য 2x মি. , 3x মি., 4x মি.

শর্তানুযায়ী,

2x + 3x + 4x = 216

বা, 9x = 216

বা, x = `\frac{216}{9}`

বা, x = 24

পার্কটির বাহুগুলির দৈর্ঘ্য 48 মি. , 72 মি. , 96 মিটার পার্কটির অর্ধপরিসীমা S =

ত্রিভুজকৃতি পার্কটির ক্ষেত্রফল

= `\sqrt{108(108 – 48) (108 – 72) (108 – 96)}` বর্গমিটার

= `\sqrt{108 \times 60 \times 36 \times 12} = 432\sqrt{15}` বর্গমিটার

(ii) পার্কটির বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য 96

আবার বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কৌনিক বিন্দু থেকে ওই বাহুতে সোজাসুজি যেতে হলে কৌনিক বিন্দু থেকে ওই বাহুতে লম্ব হবে

শর্তানুযায়ী,

`\frac{1}{2} \times 96 \times x = 432\sqrt{15}`

বা, x = `\frac{2 \times 432\sqrt{15}}{96}`

বা, x = `\frac{432\sqrt{15}}{48} = 9\sqrt{15}`

অর্থাৎ ,পার্কের  বৃহত্তম বাহু থেকে বিপরীত কৌণিক বিন্দু পর্যন্ত হাঁটতে হলে 9√15 মিটার দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে ।


10.পহলমপুর গ্রামের ত্রিভুজাকৃতি মাঠের তিনদিকের দৈর্ঘ্য  যথাক্রমে 26 মিটার , 28 মিটার   ও 30 মিটার ।

(i) প্রতি বর্গমিটার 5 টাকা হিসাবে   ত্রিভুজাকৃতি মাঠে ঘাস লাগাতে মোট কত টাকা খরচ হবে হিসাব করে লিখি ।

(ii) ওই ত্রিভুজাকৃতি মাঠে  প্রবেশের গেট  তৈরির জন্য 5 মিটার জায়গা ছেড়ে বাকি চারধার বেড়া দিয়ে ঘিরতে প্রতি মিটার 18 টাকা হিসাবে মোট কত টাকা খরচ  হবে  হিসাব করে লিখি ।

সমাধান:

ত্রিভূজাকৃতি মাঠটির তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য 26মিটার, 28 মিটার, ও 30 মিটার

ত্রিভুজাকৃতি মাঠের পরিসীমা = (26+28+30) মিটার = 84 মিটার

∴ মাঠটির অর্ধ পরিসীমা (s) = `\frac{84}{2}` মিটার = 42 মিটার।

মাঠটির ক্ষেত্রফল = `\sqrt{42 \times (42 – 26)(42-28)(42-30)}` বর্গমিটার

= `\sqrt{42 \times 16\times 14 \times 12}` বর্গমিটার

= `\sqrt{7\times 3\times 2\times 4\times 4\times 2\times 7 \times 4 \times 3}` বর্গমিটার

= 7 x 2 x 4 x 2 x 3 = 336 বর্গমিটার

∴ প্রতি বর্গমিটারে 5 টাকা হিসাবে ত্রিভুজাকৃতি মাঠে ঘাস লাগাতে মোট খরচ হবে (336 x 5) = 1680 টাকা

(ii) ত্রিভুজাকার মাঠটির পরিসীমা = 42 x 2 = 84 মিটার

∴ 5 মিটার জায়গা ছেড়ে বেড়া দিতে হলে মোট 79 মিটার বেড়া দিতে হবে

∴ মাঠটি বেড়া দিতে খরচ পড়বে = (79 x 18) = 1422 টাকা


11. শাকিল একটি সমবাহু ত্রিভুজ PQR এঁকেছে । আমি ওই সমবাহু ত্রিভুজের অন্তস্থঃ কোনো  বিন্দু থেকে ত্রিভুজের বাহ গুলির ওপর তিনটি লম্ব অঙ্কন করেছি যাদের  দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 10 সেমি. ,12 সেমি. এবং 8 সেমি. ।  হিসাব করে PQR ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল লিখি ।

11. শাকিল একটি সমবাহু ত্রিভুজ PQR এঁকেছে । আমি ওই সমবাহু ত্রিভুজের অন্তস্থঃ কোনো  বিন্দু থেকে ত্রিভুজের বাহ গুলির ওপর তিনটি লম্ব অঙ্কন করেছি যাদের  দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 10 সেমি. ,12 সেমি. এবং 8 সেমি. ।  হিসাব করে PQR ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল লিখি ।

ধরা যাক, PQR একটি সমবাহু ত্রিভুজ যার PQ = QR = RP;

ধরি, PQ = QR = RP = a সেমি

ত্রিভুজটির অন্তঃস্থ বিন্দু O থেকে তিনটি বাহুর উপর লম্ব OA, OB এবং OC

OA = 10সেমি , OB = 12সেমি , OC = 8 সেমি

`\triangle PQR = \triangle OPQ + \triangle OQR + \triangle ORP`

`\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{1}{2} \times a \times 10+ \frac{1}{2} \times a \times 12 + \frac{1}{2} \times a \times 8`

`\frac{\sqrt{3}}{4} a^2` = 5a + 6a + 4a

`\frac{\sqrt{3}}{4} a^2` = 15a

a = `\frac{15 \times 4}{\sqrt{3}} = 20\sqrt{3}`

`\triangle PQR` এর ক্ষেত্রফল = `(\frac{\sqrt{3}}{4} \times 20\sqrt{3} \times 20\sqrt{3})` বর্গসেমি

` = 300\sqrt{3}` বর্গসেমি


12. একটি  সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 20 সেমি. এবং ওই বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 45° হলে , ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।

সমাধান:

একটি  সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 20 সেমি. এবং ওই বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 45° হলে , ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।

ধরা যাক ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার AB = BC = 20 সেমি এবং `\angle BAC` = 45°

এখন B বিন্দু থেকে AC বাহুর উপর লম্ব অঙ্কন করা হল

অর্থাৎ `\angle BDA` = 90°

Sin `\angle BAD = \frac{BD}{AB}`

Sin 45° = `\frac{BD}{20}`

BD = 20 `\times \frac{1}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2}`

`\angle ABC` এর ক্ষেত্রফল = `\frac{1}{2} \times BD \times AC`

= `\frac{1}{2} \times 10\sqrt{2} \times 20 = 100\sqrt{2}` বর্গসেমি


Leave a Comment

TS SSC Class 10 Result 2022 : Check Out Now HPBOSE Class 10 Result 2022 : Check Out Now TS Inter Result 2022 : Check Out Now ৩৭% মানুষ বিটকয়েনকে একটি আইনি মুদ্রা বানাতে চায় Ather 450 Plus ইলেকট্রিক স্কুটারের সামনে Ola ব্যর্থ
%d bloggers like this: