Koshe Dekhi 21 Class 9 | লগারিদম : কষে দেখি 21 Class 9

প্রিয় ছাত্র ছাত্রী তোমাদের প্রয়োজনমত সব প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য আমরা এই estudypoint.com ওয়েবসাইট বানিয়েছি। আজকের এই পোস্টে আমরা মধ্য শিক্ষা পর্ষদের নবম শ্রেণীর লগারিদম : কষে দেখি 21 class 9 এই চ্যাপ্টারের গণিতের সম্পূর্ণ উত্তর দিয়েছি।

যদি তোমাদের আরো ও গণিতের সমাধানের প্রয়োজন হয় তাহলে আমাদের এই ওয়েবসাইটের কমেন্ট বক্সে লিখে জানাবে। আমরা চেষ্টা করবো যত তাড়াতাড়ি তোমাদের প্রশ্নের উত্তর দিতে পারি।

Koshe Dekhi 21 Class 9

---

(i) log₄$(\frac{1}{64})$

ধরি, log₄$(\frac{1}{64})$ = x

বা, 4^x = $\frac{1}{64}$

বা, 4^x = $(\frac{1}{4})^3$

বা, 4^x = 4^-3

বা, x = -3

log₄$(\frac{1}{64})$ = -3

---

(ii) log_0.01 0.000001

ধরি , log_0.01 0.000001 = x

বা, (0.01)^x = 0.000001

বা, (0.01)^x = (0.01)³

বা, x = 3

log _0.01 0.000001 = 3

---

(iii) log_√6 216

ধরি , log_√6216 = x

বা, ( √6)^x = 216

বা, (√6)^x = (6)³

বা, (√6)^x  = {(√6)²} ³

বা, (√6)^x  = (√6 )⁶

বা, x = 6

∴ log_√6 216 = 6

---

(iv) log _2√3 1728

ধরি , log _2√3 1728

বা, (2√3)^x = 1728

বা, (2√3)^x = 2⁶✕3³

বা, (2√3)^x = 2⁶ ✕ {(√3)²}³

বা, (2√3)^x = 2⁶ ✕ (√3)⁶

বা, (2√3)^x = (2√3)⁶

বা, x = 6

log _2√3 1728 = 6

---

2. (a) 625 –এর লগারিদম 4 হলে , নিধান কী হবে হিসাব করে লিখি ।

মনে করি, নিধান x

log_x 625 = 4

বা, x⁴ = 625

বা, x⁴ = 25 $\times$ 25

বা, x⁴ = 5⁴

বা, x = 5

নিধান হবে 5

---

(b) 5832 –এর লগারিদম 6 হলে , নিধান কী  হবে হিসাব করে লিখি ।

মনে করি, নিধান x

বা, x⁶ = 5832

বা, x⁶ = 2³ ✕ 3⁶

বা, x⁶ = (√2)⁶ ✕ 3⁶

বা, x⁶ = (3√2)⁶

বা, x = 3√2

নিধান হবে 3√2

---

3 (a) 1 +log₁₀^a =2log₁₀^b হলে , a কে b দ্বারা প্রকাশ করি ।

1 + log₁₀^a = 2 log₁₀^b

বা, 1 =$\mathrm{log}_{10}^{b^2}$ – log₁₀^a

বা, log₁₀¹⁰ = $\mathrm{log}_{10}^{\frac{b^2}{a}}$

বা, $\frac{b^2}{a}$ = 10

বা, a = $\frac{b^2}{10}$

কষে দেখি 21 class 9

---

(b) 3+$\mathrm{log}_{10}^{x}$ = 2$\mathrm{log}_{10}^{y}$ হলে, x কে y দ্বারা প্রকাশ করো ।

3+$\mathrm{log}_{10}^{x}$ = 2$\mathrm{log}_{10}^{y}$

বা, 3 = $\mathrm{log}_{10}^{y^2} – \mathrm{log}_{10}^{x}$

বা, 3 = $\mathrm{log}_{10}^{\frac{y^2}{x}}$ [log₁₀^a – log₁₀^b = $\mathrm{log}_{10}^{\frac{a}{b}}$]

বা, $\frac{y^2}{x}$ = 10³

বা, x = $\frac{y^2}{10^3}$

বা, x = $\frac{y^2}{1000}$

---

4. মান নির্ণয় করিঃ

(a) log₂ [log₂{log₃(log₃27³)}]

= log₂ [log₂ {log₃ (log₃3⁹)}]

= log₂ [ log₂ { log₃⁹ (log³₃)}]

= log₂ [ log₂ {log₃⁹}] [যেহেতু, log₃³ = 1]

= log₂ [ log₂² (log₃³)]

= log₂ ( log₂) [যেহেতু, log₃³ = 1]

= log₂¹

= 0 [যেহেতু, log_x¹ = 0]

---

(b) $\frac{log\sqrt{27}+ log8 – log\sqrt{1000}}{log 1.2}$

= $\frac{log(3)^\frac{3}{2} + log 2^3 – log (10)^\frac{3}{2}}{log12 – log 10}$

= $\frac{\frac{3}{2}log3 + 3log 2 – \frac{3}{2}}{log 4 + log3 – 1}$

= $\frac{\frac{3}{2}(log+2log2 – 1)}{(log3 + 2log2 -1}$

= $\frac{3}{2}$

---

(c) $\mathrm{log}_{3}^{4} \times \mathrm{log}_{4}^{5} \times \mathrm{log}_{5}^{6} \times \mathrm{log}_{6}^{7} \times \mathrm{log}_{7}^{3}$

= $\frac{log4}{log3} \times \frac{log5}{log4} \times \frac{log6}{log5} \times \frac{log 7}{log 6} \times \frac{log 3}{log 7}$ [প্রতিটি logarithm এর নিধান একই]

= 1

---

(d) log₁₀ ^384/5 + log₁₀ ^81/32 + 3 log₁₀ ^5/3 + log₁₀ ^1/9

= log₁₀³⁸⁴ – log₁₀⁵ + log₁₀⁸¹ – log₁₀³² + 3 log₁₀⁵ – 3 log₁₀³ + log₁₀¹ – log₁₀⁹ [যেহেতু, log10 a/b = log₁₀^a – log₁₀^b]

= log₁₀2⁷ X 3 – log₁₀⁵ + log₁₀3⁴ – log₁₀2⁵ + 3 log₁₀⁵ – 3 log₁₀³ + 0 – log₁₀3²

= 2 log₁₀² + 2 log₁₀⁵

= 2 ( log₁₀² + log₁₀⁵)

= 2 log₁₀¹⁰

= 2 $\times$ 1 [ log₁₀¹⁰ = 1]

= 2

---

5. প্রমাণ করিঃ

(i) log$\frac{75}{16}$ – 2log$\frac{5}{9}$ + log$\frac{32}{243}$ = log 2

= log$\frac{75}{16}$ – 2log$\frac{5}{9}$ + log$\frac{32}{243}$

= log 75 – log 16 – 2log 5 + 2log 9 + log 32 – log 243

= log (5² X 3) – log 2⁴ – 2 log 5 + 2 log 3² + log 2⁵ – log 3⁵

= 2 log 5 + log 3 – 4log 2 – 2 log 5 + 4 log 3 + 4 log 3 + 5 log 2 – 5 log 3

= 5 log 3 + log 2 – 5log 3

= log 2 (প্রমাণিত)

---

(ii) log₁₀¹⁵ (1+log₁₅³⁰) + 1/2log₁₀¹⁶ (1+log₄⁷) – log₁₀⁶ (log₆³ + 1 + log₆⁷) = 2

= log₁₀¹⁵ (1+log₁₅³⁰) + 1/2log₁₀¹⁶ (1+log₄⁷) – log₁₀⁶ (log₆³ + 1 + log₆⁷)

= log₁₀¹⁵ + log₁₀^{15.log₁₅30} + $\frac{1}{2}$log₁₀¹⁶ + $\frac{1}{2}$log₁₀¹⁶.log₄⁷ – log₁₀⁶.log₆³ – log₁₀⁶ – log₁₀⁶ – log₁₀⁶.log₆⁷

= log₁₀¹⁵ + log₁₀³⁰ + log₁₀⁴ + log₁₀⁷ – log₁₀³ – log₁₀⁶ – log₁₀⁷

= log10 ^{$\frac{15\times30\times4\times7}{3\times6\times 7}$}

=log₁₀¹⁰⁰ = log₁₀(10)² = 2log₁₀¹⁰ = 2

---

(iii) প্রমান করি, log₂log₂log₄256 + 2 log_√22 = 5

log₂log₂log₄256 + 2 log_√22

=log₂log₂log₄4⁴ + 2 log_√2 (√2)² = log₂log₂4 + 4

= log₂log₂2² + 4 = log₂2 + 4 = 1 + 4 = 5 (প্রমাণিত)

---

(iv) প্রমান করি, log_x2 $\times$ log_y2^y $\times$ log_z2^z = $\frac{1}{8}$

L.H.S = log_x2 $\times$ log_y2^y $\times$ log_z2^z

= log_x2$^(x^2)^\frac{1}{2} \times$ log_y2$^(y^2)^\frac{1}{2} \times$ log_z2$^(z^2)^\frac{1}{2}$

= $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$

= $\frac{1}{8}$ (প্রমাণিত)

---

(v) প্রমাণ করি : log_b3^a X log_c3^b X log_a3^c = $\frac{1}{27}$

L.H.S = log_b3^a X log_c3^b X log_a3^c

= $\frac{loga}{logb^3}\times \frac{log b}{log c^3}\times \frac{log c}{log a^3}$

= $\frac{log a}{3 log b} \times \frac{log b}{3 log c} \times \frac{log c}{3 log a}$

= $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}$

= $\frac{1}{27}$ (প্রমাণিত)

---

(vi) প্রমাণ করি : $\frac{1}{\mathrm{log}_{xy}^{xyz}} + \frac{1}{\mathrm{log}_{yz}^{xyz}} + \frac{1}{\mathrm{log}_{zx}^{xyz}}$ =2

L.H.S = $\frac{1}{\mathrm{log}_{xy}^{xyz}} + \frac{1}{\mathrm{log}_{yz}^{xyz}} + \frac{1}{\mathrm{log}_{zx}^{xyz}}$

= log a² – log bc + log b² – log ca + log c² – log ab

= 2 log a – log b – log c + 2 log b – log c – log a + 2 log c – log a – log b

= 2 log a + 2 log b + 2 log c – 2 log a – 2 log b – 2 log c

= 0 (প্রমাণিত)

---

(viii) প্রমাণ করি : $x^{log y – log z} \times y^{log z – log x} \times z^{log x – log y}$ = 1

মনে করি, P = $x^{log y – log z} \times y^{log z – log x} \times z^{log x – log y}$

উভয় পক্ষকে log নিয়ে পাই,

log p = log ($x^{log y – log z} \times y^{log z – log x} \times z^{log x – log y}$

= (log y – log z) log x + (log z – log x) log y + log x – log y) log z

∴ log p = log x . log y – log z . log x + log y . log z – log x. log y + log z. log x – log y. log z

∴ log p = 0

p = 2

$x^{log y – log z} \times y^{log z – log x} \times z^{log x – log y}$ = 1

kose dekhi 21 class 9

---

6(i) যদি log$\frac{x+y}{5}=\frac{1}{2}$ (log x + log y) হয় তাহলে দেখাও যে, $\frac{x}{y} + {y}{x}$ = 23

log $\frac{x+y}{5} = \frac{1}{2}$ (log x + log y)

বা, 2 log $\frac{x+y}{5}$ = log x + log y

বা, log $\frac{(x+y)^2}{25}$ = log xy

বা, $\frac{(x+y)^2}{25}$ = xy

বা, x² + y² + 2xy = 25xy

বা, x² + y² = 23xy

বা, $\frac{x^2+y^2}{xy}$ = 23

বা, $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ = 23

---

(ii) যদি a⁴ + b⁴ = 14a²b² হয়, দেখাও যে log (a² + b²) = log a + log b + 2 log 2

a⁴ + b⁴ = 14a²b²

বা, a⁴ + b⁴ + 2a²b² = 16a²b²

বা, (a² + b²)² = (4ab)²

বা, a² + b² = 4ab

উভয় পক্ষে log নিয়ে পাই,

log (a² + b²) = log 4ab = log 4 + log a + log b = 2 log 2 + log a + log b

∴ log (a² + b²) = log a + log b + 2 log 2 (প্রমাণিত)

---

7. যদি $\frac{log x}{y – z} = \frac{log y}{z-x} = \frac{log z}{x-y}$ হয় তাহলে দেখাও যে, xyz = 1

ধরি, $\frac{log x}{y – z} = \frac{log y}{z-x} = \frac{log z}{x-y}$ = k

∴ log x = k(y-z)

log y = k(z-x)

log z = k(x-y)

∴ log x + log y + log z = k(y-z+z-x+x-y)

বা, log xyz = 0

বা, log xyz = log 1

বা, xyz = 1 (প্রমাণিত)

---

8. যদি $\frac{log x}{b-c}= \frac{log y}{c-a}=\frac{log z}{a-b}$ হয় তাহলে প্রমান কর যে,

(a) $x^{b+c} . y^{c+a} . z^{a+b}$ = 1

(b) $x^{b^2+bc+c^2}. y^{c^2 ca+a^2} . z^{a^2 ab+b^2}$ =1

সমাধান: (a)

ধরি, $\frac{log x}{b-c}= \frac{log y}{c-a}=\frac{log z}{a-b}$ = k

∴ log x = k (b-c)

(b+c) log x = k(b-c)(b+c)

(b+c) log x = k(b² – c²)……………(i)

একইভাবে, (c+a) log y = k(c-a)(c+a)
= k(c² – a²)……………….(ii)

(a+b) log z = k(a²-b²)…………………….(iii)

(i), (ii) ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই

বা, (b+c) log x + (c+a) log y + (a+b) log z = k(b² -c² + c² – a² +a² -b²)

বা, log x^(b+c) + log y^(c+a) + log z^(a+b) = 1

বা, log x^(b+c) . y^(c+a) . z^(a+b) = log 1

বা, x^(b+c) . y^(c+a) . z^(a+b) =1 (প্রমাণিত)

---

(b) ধরি, $\frac{log x}{b-c}= \frac{log y}{c-a}=\frac{log z}{a-b}$ = k

∴ log x = k(b-c)

(b² + bc + x²) log x = k(b-c) (b²+bc+c²)

(b² + bc + x²) log x = k(b³ + b²c + bc² – b²c – bc² – c³)

∴ (b² + bc + x²) log x = k (b³ – c³)………..(i)

একইভাবে, (c² + ca + a²) log y = k (c³ – a³)……………(ii)

(a² + ab + b²) log z = k (a³ – b³)………….(iii)

(i), (ii) ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

(b² + bc + x²) log x + (c² + ca + a²) log y + (a² + ab + b²) log z = (b³ – c³ +c³ – a³ +a³ – b³)

বা, $x^{(b^2 + bc + c^2)} . y^{(c^2 + ca + a^2)} . z^{(a^2+ab+b^2)}$ = 0

বা, $x^{(b^2 + bc + c^2)} . y^{(c^2 + ca + a^2)} . z^{(a^2+ab+b^2)}$ = log 1

বা, $x^{b^2 + bc + c^2} . y^{c^2 + ca + a^2} . z^{a^2+ab+b^2}$ = 1 (প্রমাণিত)

---

9. যদি a^3-x . b^5x = a^5+x .b^3x হয় তাহলে দেখাও যে, x log$\frac{b}{a}$ = log a

a^3-x . b^5x = a^5+x .b^3x

বা, $\frac{b^5x}{b^3x} = \frac{a^{5+x}}{a{3-x}}$

বা, b^2x = a^5+x-3+x

বা, b^2x = a^{2x + 2}

বা, b^2x = a^2x . a²

বা, $\frac{b}{a}^{2x}$ = a²

বা, $\frac{b}{a}^x $= a

উভয় পক্ষে log নিয়ে পাই,

x log $\frac{b}{a}$ = log a (প্রমাণিত)

---

সমাধান করি :

(a) log₈ [log₂ {log₃ (4^x+ 17)}] = $\frac{1}{3}$

বা, log₂ {log₃ (4^x + 17)}] = $8^{\frac{1}{3}}$

বা, log₂ {log₃ (4^x + 17)}] = 2

বা, log₃ (4^x + 17) = 2²

বা, 4^x + 17 = 3⁴

বা, 4^x = 81 -17

বা, 4^x = 64

বা, 4^x = 4³

বা, x = 3

---

(b) log₈x + log₄x + log₂x =11

বা, $\frac{log x}{log 8} + \frac{log x}{log 4} + \frac{log x}{log 2}$ =11

বা, $\frac{log x}{3 log 2} + \frac{log x}{2 log 2} + \frac{log x}{log 2}$ =11

বা, log x $\frac{2+3+6}{6 log 2} $= 11

বা, $\frac{11 log x}{6 log 2}$ =11

বা, log x = log 2⁶

বা, x = 2⁶

বা, x = 64

---

11. দেখাও log₁₀2-এর মান $\frac{1}{4}$ এবং $\frac{1}{3}$ এর মধ্যে অবস্থিত

ধরি, x = log₁₀2

10^x = 2

এখন $\frac{1}{4}$ এবং $\frac{1}{3}$ এর হরগুলির ল.সা.গু = 12

10^x = 2

বা, (10_x)¹² =2¹²

10^12x = 4096

যেহেতু 1000<4096<10000

বা, 10³ <10^12x <10⁴

বা, 3 < 12x < 4

বা, $\frac{1}{4}$ < x <$\frac{1}{3}$

বা, $\frac{1}{4}$ < log₁₀2 <$\frac{1}{3}$

log₁₀2-এর মান $\frac{1}{4}$ এবং $\frac{1}{3}$ এর মধ্যে অবস্থিত

---

12. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) যদি log_√x0.25 = 4 হয়, তাহলে x – এর মান

(a) 0.5 (b) 0.25 (c) 4 (d) 16

সমাধান:

বা, 0.25 = (√x)⁴

বা, $\frac{1}{4}$ = x²

বা, x = $\frac{1}{2}$

= 0.5

---

(ii) log₁₀(7x-5) = 2 হলে x -এর মান

(a) 10 (b) 12 (c) 15 (d) 18

সমাধান:

log₁₀(7x-5) = 2

বা, 7x – 5 = 10²

বা, 7x = 100 + 5

বা, x = $\frac{105}{7}$

বা, x = 15

---

(iii) log₂3 = a হলে log₈27 হবে,

(a) 3a (b) 1/a (c) 2a (d) a

সমাধান:

log₈27

= $\frac{log 27}{log 8}= \frac{log 3^3}{log 2^3} = \frac{3 log 3}{3 log 2}$

= log₂3 = a

---

(iv) log_√2 x = a হলে log_2√2 x হবে,

(a) a/3 (b) a (c) 2a (d) 3a

সমাধান:

log_2√2 x = $\frac{log x}{log 2\sqrt{2}} = \frac{log x}{log \sqrt{2}^3} = \frac{log x}{3 log \sqrt{2}}$

= $\frac{1}{3}$ log_2√2 x = $\frac{a}{3}$

---

(v) log_x 1/3 = – 1/3 হলে x এর মান হবে

(a) 27 (b) 9 (c) 3 (d) 1/27

log_x $\frac{1}{3} = – \frac{1}{3}$

বা, (27) ^-1/3 = x ^-1/3

বা, x = 27

---

13. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন

(i) log₄ log₄ log₄ 256 এর মান কত হবে হিসাব করি

= log₄ log₄ log₄ 4⁴

= log₄ log₄ 4 log₄ 4

= log₄ log₄ 4

= log₄1

= 0

∴ log₄ log₄ log₄ 256 =0

---

(ii) log$\frac{a^n}{b^n}$ + log$\frac{b^n}{c^n}$ + log$\frac{c^n}{a^n}$ এর মান কত হবে হিসাব করি

log$\frac{a^n}{b^n}$ + log$\frac{b^n}{c^n}$ + log$\frac{c^n}{a^n}$

= log$(\frac{a^n}{b^n} \times \frac{b^n}{c^n} \times \frac{c^n}{a^n})$

= log 1

= 0

∴ log$\frac{a^n}{b^n}$ + log$\frac{b^n}{c^n}$ + log$\frac{c^n}{a^n}$ = 0

---

(iii) দেখায় যে a^log_ax = x

ধরি, p = a^log_ax

উভয়পক্ষকে log নিয়ে পাই

log p = log_a xlog a

বা, log p = $\frac{log x}{log a}\times$ log a

বা, log p = log x

বা, p = x

∴ a^log_ax = x (প্রমাণিত)

---

(iv) log_c2 . log_x25 = log₁₀16 . log_c10 হলে x-এর মান নির্ণয় করি

log_c2 . log_x25 = log₁₀16 . log_c10

বা, log_c2 . log_x25 = log_c16 [ log_ba.log_cb = log_ca]

বা, log_c2 . log_x25 = log_c2⁴

বা, log_c2 . log_x25 = 4 log_c2

বা, log_x25 = 4

বা, x⁴ = 25

বা, x = √5