Koshe Dekhi 21 Class 9 | লগারিদম : কষে দেখি 21 Class 9

প্রিয় ছাত্র ছাত্রী তোমাদের প্রয়োজনমত সব প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য আমরা এই estudypoint.com ওয়েবসাইট বানিয়েছি। আজকের এই পোস্টে আমরা মধ্য শিক্ষা পর্ষদের নবম শ্রেণীর লগারিদম : কষে দেখি 21 class 9 এই চ্যাপ্টারের গণিতের সম্পূর্ণ উত্তর দিয়েছি।

যদি তোমাদের আরো ও গণিতের সমাধানের প্রয়োজন হয় তাহলে আমাদের এই ওয়েবসাইটের কমেন্ট বক্সে লিখে জানাবে। আমরা চেষ্টা করবো যত তাড়াতাড়ি তোমাদের প্রশ্নের উত্তর দিতে পারি।

Koshe Dekhi 21 Class 9


(i) log4(164)

ধরি, log4(164) = x

বা, 4x = 164

বা, 4x = (14)3

বা, 4x = 4-3

বা, x = -3

log4(164) = -3


(ii) log0.01 0.000001

ধরি , log0.01 0.000001 = x

বা, (0.01)= 0.000001

বা, (0.01)= (0.01)3

বা, x = 3

log 0.01 0.000001 = 3


(iii) log6 216

ধরি , log√6216 = x

বা, ( √6)= 216

বা, (√6)= (6)3

বা, (√6) = {(√6)2} 3

বা, (√6) = (√6 )6

বা, x = 6

∴ log√6 216 = 6


(iv) log 2√3 1728

ধরি , log 2√3 1728

বা, (2√3)x = 1728

বা, (2√3)x = 26✕33

বা, (2√3)x = 26 ✕ {(√3)2}3

বা, (2√3)x = 26 ✕ (√3)6

বা, (2√3)x = (2√3)6

বা, x = 6

log 2√3 1728 = 6


2. (a) 625 –এর লগারিদম 4 হলে , নিধান কী হবে হিসাব করে লিখি ।

মনে করি, নিধান x

logx 625 = 4

বা, x4 = 625

বা, x4 = 25 × 25

বা, x4 = 54

বা, x = 5

নিধান হবে 5


(b) 5832 –এর লগারিদম 6 হলে , নিধান কী  হবে হিসাব করে লিখি ।

মনে করি, নিধান x

বা, x6 = 5832

বা, x= 23 ✕ 36

বা, x6 = (√2)✕ 36

বা, x6 = (3√2)6

বা, x = 3√2

নিধান হবে 3√2


3 (a) 1 +log10a =2log10b হলে , a কে b দ্বারা প্রকাশ করি ।

1 + log10a = 2 log10b

বা, 1 =log10b2 – log10a

বা, log1010 = log10b2a

বা, b2a = 10

বা, a = b210

কষে দেখি 21 class 9


(b) 3+log10x = 2log10y হলে, x কে y দ্বারা প্রকাশ করো ।

3+log10x = 2log10y

বা, 3 = log10y2log10x

বা, 3 = log10y2x [log10a – log10b = log10ab]

বা, y2x = 103

বা, x = y2103

বা, x = y21000


4. মান নির্ণয় করিঃ

(a) log2 [log2{log3(log3273)}]

= log2 [log2 {log3 (log339)}]

= log2 [ log2 { log39 (log33)}]

= log2 [ log2 {log39}] [যেহেতু, log33 = 1]

= log2 [ log22 (log33)]

= log2 ( log2) [যেহেতু, log33 = 1]

= log21

= 0 [যেহেতু, logx1 = 0]


(b) log27+log8log1000log1.2

= log(3)32+log23log(10)32log12log10

= 32log3+3log232log4+log31

= 32(log+2log21)(log3+2log21

= 32


(c) log34×log45×log56×log67×log73

= log4log3×log5log4×log6log5×log7log6×log3log7 [প্রতিটি logarithm এর নিধান একই]

= 1


(d) log10 384/5 + log10 81/32 + 3 log10 5/3 + log10 1/9

= log10384 – log105 + log1081 – log1032 + 3 log105 – 3 log103 + log101 – log109 [যেহেতু, log10 a/b = log10a – log10b]

= log1027 X 3 – log105 + log1034 – log1025 + 3 log105 – 3 log103 + 0 – log1032

= 2 log102 + 2 log105

= 2 ( log102 + log105)

= 2 log1010

= 2 × 1 [ log1010 = 1]

= 2


5. প্রমাণ করিঃ

(i) log7516 – 2log59 + log32243 = log 2

= log7516 – 2log59 + log32243

= log 75 – log 16 – 2log 5 + 2log 9 + log 32 – log 243

= log (52 X 3) – log 24 – 2 log 5 + 2 log 32 + log 25 – log 35

= 2 log 5 + log 3 – 4log 2 – 2 log 5 + 4 log 3 + 4 log 3 + 5 log 2 – 5 log 3

= 5 log 3 + log 2 – 5log 3

= log 2 (প্রমাণিত)


(ii) log1015 (1+log1530) + 1/2log1016 (1+log47) – log106 (log63 + 1 + log67) = 2

= log1015 (1+log1530) + 1/2log1016 (1+log47) – log106 (log63 + 1 + log67)

= log1015 + log1015.log1530 + 12log1016 + 12log1016.log47 – log106.log63 – log106 – log106 – log106.log67

= log1015 + log1030 + log104 + log107 – log103 – log106 – log107

= log10 15×30×4×73×6×7

=log10100 = log10(10)2 = 2log1010 = 2


(iii) প্রমান করি, log2log2log4256 + 2 log√22 = 5

log2log2log4256 + 2 log22

=log2log2log444 + 2 log2 (√2)2 = log2log24 + 4

= log2log222 + 4 = log22 + 4 = 1 + 4 = 5 (প্রমাণিত)


(iv) প্রমান করি, logx2 × logy2y × logz2z = 18

L.H.S = logx2 × logy2y × logz2z

= logx2(x2)12× logy2(y2)12× logz2(z2)12

= 12×12×12

= 18 (প্রমাণিত)


(v) প্রমাণ করি : logb3a X logc3b X loga3c = 127

L.H.S = logb3a X logc3b X loga3c

= logalogb3×logblogc3×logcloga3

= loga3logb×logb3logc×logc3loga

= 13×13×13

= 127 (প্রমাণিত)


(vi) প্রমাণ করি : 1logxyxyz+1logyzxyz+1logzxxyz =2

L.H.S = 1logxyxyz+1logyzxyz+1logzxxyz

= log a2 – log bc + log b2 – log ca + log c2 – log ab

= 2 log a – log b – log c + 2 log b – log c – log a + 2 log c – log a – log b

= 2 log a + 2 log b + 2 log c – 2 log a – 2 log b – 2 log c

= 0 (প্রমাণিত)


(viii) প্রমাণ করি : xlogylogz×ylogzlogx×zlogxlogy = 1

মনে করি, P = xlogylogz×ylogzlogx×zlogxlogy

উভয় পক্ষকে log নিয়ে পাই,

log p = log (xlogylogz×ylogzlogx×zlogxlogy

= (log y – log z) log x + (log z – log x) log y + log x – log y) log z

∴ log p = log x . log y – log z . log x + log y . log z – log x. log y + log z. log x – log y. log z

∴ log p = 0

p = 2

xlogylogz×ylogzlogx×zlogxlogy = 1

kose dekhi 21 class 9


6(i) যদি logx+y5=12 (log x + log y) হয় তাহলে দেখাও যে, xy+yx = 23

log x+y5=12 (log x + log y)

বা, 2 log x+y5 = log x + log y

বা, log (x+y)225 = log xy

বা, (x+y)225 = xy

বা, x2 + y2 + 2xy = 25xy

বা, x2 + y2 = 23xy

বা, x2+y2xy = 23

বা, xy+yx = 23


(ii) যদি a4 + b4 = 14a2b2 হয়, দেখাও যে log (a2 + b2) = log a + log b + 2 log 2

a4 + b4 = 14a2b2

বা, a4 + b4 + 2a2b2 = 16a2b2

বা, (a2 + b2)2 = (4ab)2

বা, a2 + b2 = 4ab

উভয় পক্ষে log নিয়ে পাই,

log (a2 + b2) = log 4ab = log 4 + log a + log b = 2 log 2 + log a + log b

∴ log (a2 + b2) = log a + log b + 2 log 2 (প্রমাণিত)


7. যদি logxyz=logyzx=logzxy হয় তাহলে দেখাও যে, xyz = 1

ধরি, logxyz=logyzx=logzxy = k

∴ log x = k(y-z)

log y = k(z-x)

log z = k(x-y)

∴ log x + log y + log z = k(y-z+z-x+x-y)

বা, log xyz = 0

বা, log xyz = log 1

বা, xyz = 1 (প্রমাণিত)


8. যদি logxbc=logyca=logzab হয় তাহলে প্রমান কর যে,

(a) xb+c.yc+a.za+b = 1

(b) xb2+bc+c2.yc2ca+a2.za2ab+b2 =1

সমাধান: (a)

ধরি, logxbc=logyca=logzab = k

∴ log x = k (b-c)

(b+c) log x = k(b-c)(b+c)

(b+c) log x = k(b2 – c2)……………(i)

একইভাবে, (c+a) log y = k(c-a)(c+a)
= k(c2 – a2)……………….(ii)

(a+b) log z = k(a2-b2)…………………….(iii)

(i), (ii) ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই

বা, (b+c) log x + (c+a) log y + (a+b) log z = k(b2 -c2 + c2 – a2 +a2 -b2)

বা, log x(b+c) + log y(c+a) + log z(a+b) = 1

বা, log x(b+c) . y(c+a) . z(a+b) = log 1

বা, x(b+c) . y(c+a) . z(a+b) =1 (প্রমাণিত)


(b) ধরি, logxbc=logyca=logzab = k

∴ log x = k(b-c)

(b2 + bc + x2) log x = k(b-c) (b2+bc+c2)

(b2 + bc + x2) log x = k(b3 + b2c + bc2 – b2c – bc2 – c3)

∴ (b2 + bc + x2) log x = k (b3 – c3)………..(i)

একইভাবে, (c2 + ca + a2) log y = k (c3 – a3)……………(ii)

(a2 + ab + b2) log z = k (a3 – b3)………….(iii)

(i), (ii) ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

(b2 + bc + x2) log x + (c2 + ca + a2) log y + (a2 + ab + b2) log z = (b3 – c3 +c3 – a3 +a3 – b3)

বা, x(b2+bc+c2).y(c2+ca+a2).z(a2+ab+b2) = 0

বা, x(b2+bc+c2).y(c2+ca+a2).z(a2+ab+b2) = log 1

বা, xb2+bc+c2.yc2+ca+a2.za2+ab+b2 = 1 (প্রমাণিত)


9. যদি a3-x . b5x = a5+x .b3x হয় তাহলে দেখাও যে, x logba = log a

a3-x . b5x = a5+x .b3x

বা, b5xb3x=a5+xa3x

বা, b2x = a5+x-3+x

বা, b2x = a2x + 2

বা, b2x = a2x . a2

বা, ba2x = a2

বা, bax= a

উভয় পক্ষে log নিয়ে পাই,

x log ba = log a (প্রমাণিত)


সমাধান করি :

(a) log8 [log2 {log3 (4x+ 17)}] = 13

বা, log2 {log3 (4x + 17)}] = 813

বা, log2 {log3 (4x + 17)}] = 2

বা, log3 (4x + 17) = 22

বা, 4x + 17 = 34

বা, 4x = 81 -17

বা, 4x = 64

বা, 4x = 43

বা, x = 3


(b) log8x + log4x + log2x =11

বা, logxlog8+logxlog4+logxlog2 =11

বা, logx3log2+logx2log2+logxlog2 =11

বা, log x 2+3+66log2= 11

বা, 11logx6log2 =11

বা, log x = log 26

বা, x = 26

বা, x = 64


11. দেখাও log102-এর মান 14 এবং 13 এর মধ্যে অবস্থিত

ধরি, x = log102

10x = 2

এখন 14 এবং 13 এর হরগুলির ল.সা.গু = 12

10x = 2

বা, (10x)12 =212

1012x = 4096

যেহেতু 1000<4096<10000

বা, 103 <1012x <104

বা, 3 < 12x < 4

বা, 14 < x <13

বা, 14 < log102 <13

log102-এর মান 14 এবং 13 এর মধ্যে অবস্থিত


12. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) যদি log√x0.25 = 4 হয়, তাহলে x – এর মান

(a) 0.5 (b) 0.25 (c) 4 (d) 16

সমাধান:

বা, 0.25 = (√x)4

বা, 14 = x2

বা, x = 12

= 0.5


(ii) log10(7x-5) = 2 হলে x -এর মান

(a) 10 (b) 12 (c) 15 (d) 18

সমাধান:

log10(7x-5) = 2

বা, 7x – 5 = 102

বা, 7x = 100 + 5

বা, x = 1057

বা, x = 15


(iii) log23 = a হলে log827 হবে,

(a) 3a (b) 1/a (c) 2a (d) a

সমাধান:

log827

= log27log8=log33log23=3log33log2

= log23 = a


(iv) log√2 x = a হলে log2√2 x হবে,

(a) a/3 (b) a (c) 2a (d) 3a

সমাধান:

log2√2 x = logxlog22=logxlog23=logx3log2

= 13 log2√2 x = a3


(v) logx 1/3 = – 1/3 হলে x এর মান হবে

(a) 27 (b) 9 (c) 3 (d) 1/27

logx 13=13

বা, (27) -1/3 = x -1/3

বা, x = 27


13. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন

(i) log4 log4 log4 256 এর মান কত হবে হিসাব করি

= log4 log4 log4 44

= log4 log4 4 log4 4

= log4 log4 4

= log41

= 0

∴ log4 log4 log4 256 =0


(ii) loganbn + logbncn + logcnan এর মান কত হবে হিসাব করি

loganbn + logbncn + logcnan

= log(anbn×bncn×cnan)

= log 1

= 0

∴ loganbn + logbncn + logcnan = 0


(iii) দেখায় যে alogax = x

ধরি, p = alogax

উভয়পক্ষকে log নিয়ে পাই

log p = loga xlog a

বা, log p = logxloga× log a

বা, log p = log x

বা, p = x

∴ alogax = x (প্রমাণিত)


(iv) logc2 . logx25 = log1016 . logc10 হলে x-এর মান নির্ণয় করি

logc2 . logx25 = log1016 . logc10

বা, logc2 . logx25 = logc16 [ logba.logcb = logca]

বা, logc2 . logx25 = logc24

বা, logc2 . logx25 = 4 logc2

বা, logx25 = 4

বা, x4 = 25

বা, x = √5

Leave a Comment