প্রিয় ছাত্র ছাত্রী তোমাদের প্রয়োজনমত সব প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য আমরা এই estudypoint.com ওয়েবসাইট বানিয়েছি। আজকের এই পোস্টে আমরা মধ্য শিক্ষা পর্ষদের নবম শ্রেণীর লগারিদম : কষে দেখি 21 class 9 এই চ্যাপ্টারের গণিতের সম্পূর্ণ উত্তর দিয়েছি।
যদি তোমাদের আরো ও গণিতের সমাধানের প্রয়োজন হয় তাহলে আমাদের এই ওয়েবসাইটের কমেন্ট বক্সে লিখে জানাবে। আমরা চেষ্টা করবো যত তাড়াতাড়ি তোমাদের প্রশ্নের উত্তর দিতে পারি।
Koshe Dekhi 21 Class 9
(i) log4
ধরি, log4
বা, 4x =
বা, 4x =
বা, 4x = 4-3
বা, x = -3
log4
(ii) log0.01 0.000001
ধরি , log0.01 0.000001 = x
বা, (0.01)x = 0.000001
বা, (0.01)x = (0.01)3
বা, x = 3
log 0.01 0.000001 = 3
(iii) log√6 216
ধরি , log√6216 = x
বা, ( √6)x = 216
বা, (√6)x = (6)3
বা, (√6)x = {(√6)2} 3
বা, (√6)x = (√6 )6
বা, x = 6
∴ log√6 216 = 6
(iv) log 2√3 1728
ধরি , log 2√3 1728
বা, (2√3)x = 1728
বা, (2√3)x = 26✕33
বা, (2√3)x = 26 ✕ {(√3)2}3
বা, (2√3)x = 26 ✕ (√3)6
বা, (2√3)x = (2√3)6
বা, x = 6
log 2√3 1728 = 6
2. (a) 625 –এর লগারিদম 4 হলে , নিধান কী হবে হিসাব করে লিখি ।
মনে করি, নিধান x
logx 625 = 4
বা, x4 = 625
বা, x4 = 25
বা, x4 = 54
বা, x = 5
নিধান হবে 5
(b) 5832 –এর লগারিদম 6 হলে , নিধান কী হবে হিসাব করে লিখি ।
মনে করি, নিধান x
বা, x6 = 5832
বা, x6 = 23 ✕ 36
বা, x6 = (√2)6 ✕ 36
বা, x6 = (3√2)6
বা, x = 3√2
নিধান হবে 3√2
3 (a) 1 +log10a =2log10b হলে , a কে b দ্বারা প্রকাশ করি ।
1 + log10a = 2 log10b
বা, 1 =
বা, log1010 =
বা,
বা, a =
কষে দেখি 21 class 9
(b) 3+
3+
বা, 3 =
বা, 3 =
বা,
বা, x =
বা, x =
4. মান নির্ণয় করিঃ
(a) log2 [log2{log3(log3273)}]
= log2 [log2 {log3 (log339)}]
= log2 [ log2 { log39 (log33)}]
= log2 [ log2 {log39}] [যেহেতু, log33 = 1]
= log2 [ log22 (log33)]
= log2 ( log2) [যেহেতু, log33 = 1]
= log21
= 0 [যেহেতু, logx1 = 0]
(b)
=
=
=
=
(c)
=
= 1
(d) log10 384/5 + log10 81/32 + 3 log10 5/3 + log10 1/9
= log10384 – log105 + log1081 – log1032 + 3 log105 – 3 log103 + log101 – log109 [যেহেতু, log10 a/b = log10a – log10b]
= log1027 X 3 – log105 + log1034 – log1025 + 3 log105 – 3 log103 + 0 – log1032
= 2 log102 + 2 log105
= 2 ( log102 + log105)
= 2 log1010
= 2
= 2
5. প্রমাণ করিঃ
(i) log
= log
= log 75 – log 16 – 2log 5 + 2log 9 + log 32 – log 243
= log (52 X 3) – log 24 – 2 log 5 + 2 log 32 + log 25 – log 35
= 2 log 5 + log 3 – 4log 2 – 2 log 5 + 4 log 3 + 4 log 3 + 5 log 2 – 5 log 3
= 5 log 3 + log 2 – 5log 3
= log 2 (প্রমাণিত)
(ii) log1015 (1+log1530) + 1/2log1016 (1+log47) – log106 (log63 + 1 + log67) = 2
= log1015 (1+log1530) + 1/2log1016 (1+log47) – log106 (log63 + 1 + log67)
= log1015 + log1015.log1530 +
= log1015 + log1030 + log104 + log107 – log103 – log106 – log107
= log10
=log10100 = log10(10)2 = 2log1010 = 2
(iii) প্রমান করি, log2log2log4256 + 2 log√22 = 5
log2log2log4256 + 2 log√22
=log2log2log444 + 2 log√2 (√2)2 = log2log24 + 4
= log2log222 + 4 = log22 + 4 = 1 + 4 = 5 (প্রমাণিত)
(iv) প্রমান করি, logx2
L.H.S = logx2
= logx2
=
=
(v) প্রমাণ করি : logb3a X logc3b X loga3c =
L.H.S = logb3a X logc3b X loga3c
=
=
=
=
(vi) প্রমাণ করি :
L.H.S =
= log a2 – log bc + log b2 – log ca + log c2 – log ab
= 2 log a – log b – log c + 2 log b – log c – log a + 2 log c – log a – log b
= 2 log a + 2 log b + 2 log c – 2 log a – 2 log b – 2 log c
= 0 (প্রমাণিত)
(viii) প্রমাণ করি :
মনে করি, P =
উভয় পক্ষকে log নিয়ে পাই,
log p = log (
= (log y – log z) log x + (log z – log x) log y + log x – log y) log z
∴ log p = log x . log y – log z . log x + log y . log z – log x. log y + log z. log x – log y. log z
∴ log p = 0
p = 2
kose dekhi 21 class 9
6(i) যদি log
log
বা, 2 log
বা, log
বা,
বা, x2 + y2 + 2xy = 25xy
বা, x2 + y2 = 23xy
বা,
বা,
(ii) যদি a4 + b4 = 14a2b2 হয়, দেখাও যে log (a2 + b2) = log a + log b + 2 log 2
a4 + b4 = 14a2b2
বা, a4 + b4 + 2a2b2 = 16a2b2
বা, (a2 + b2)2 = (4ab)2
বা, a2 + b2 = 4ab
উভয় পক্ষে log নিয়ে পাই,
log (a2 + b2) = log 4ab = log 4 + log a + log b = 2 log 2 + log a + log b
∴ log (a2 + b2) = log a + log b + 2 log 2 (প্রমাণিত)
7. যদি
ধরি,
∴ log x = k(y-z)
log y = k(z-x)
log z = k(x-y)
∴ log x + log y + log z = k(y-z+z-x+x-y)
বা, log xyz = 0
বা, log xyz = log 1
বা, xyz = 1 (প্রমাণিত)
8. যদি
(a)
(b)
সমাধান: (a)
ধরি,
∴ log x = k (b-c)
(b+c) log x = k(b-c)(b+c)
(b+c) log x = k(b2 – c2)……………(i)
একইভাবে, (c+a) log y = k(c-a)(c+a)
= k(c2 – a2)……………….(ii)
(a+b) log z = k(a2-b2)…………………….(iii)
(i), (ii) ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই
বা, (b+c) log x + (c+a) log y + (a+b) log z = k(b2 -c2 + c2 – a2 +a2 -b2)
বা, log x(b+c) + log y(c+a) + log z(a+b) = 1
বা, log x(b+c) . y(c+a) . z(a+b) = log 1
বা, x(b+c) . y(c+a) . z(a+b) =1 (প্রমাণিত)
(b) ধরি,
∴ log x = k(b-c)
(b2 + bc + x2) log x = k(b-c) (b2+bc+c2)
(b2 + bc + x2) log x = k(b3 + b2c + bc2 – b2c – bc2 – c3)
∴ (b2 + bc + x2) log x = k (b3 – c3)………..(i)
একইভাবে, (c2 + ca + a2) log y = k (c3 – a3)……………(ii)
(a2 + ab + b2) log z = k (a3 – b3)………….(iii)
(i), (ii) ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
(b2 + bc + x2) log x + (c2 + ca + a2) log y + (a2 + ab + b2) log z = (b3 – c3 +c3 – a3 +a3 – b3)
বা,
বা,
বা,
9. যদি a3-x . b5x = a5+x .b3x হয় তাহলে দেখাও যে, x log
a3-x . b5x = a5+x .b3x
বা,
বা, b2x = a5+x-3+x
বা, b2x = a2x + 2
বা, b2x = a2x . a2
বা,
বা,
উভয় পক্ষে log নিয়ে পাই,
x log
সমাধান করি :
(a) log8 [log2 {log3 (4x+ 17)}] =
বা, log2 {log3 (4x + 17)}] =
বা, log2 {log3 (4x + 17)}] = 2
বা, log3 (4x + 17) = 22
বা, 4x + 17 = 34
বা, 4x = 81 -17
বা, 4x = 64
বা, 4x = 43
বা, x = 3
(b) log8x + log4x + log2x =11
বা,
বা,
বা, log x
বা,
বা, log x = log 26
বা, x = 26
বা, x = 64
11. দেখাও log102-এর মান
ধরি, x = log102
10x = 2
এখন
10x = 2
বা, (10x)12 =212
1012x = 4096
যেহেতু 1000<4096<10000
বা, 103 <1012x <104
বা, 3 < 12x < 4
বা,
বা,
log102-এর মান
12. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)
(i) যদি log√x0.25 = 4 হয়, তাহলে x – এর মান
(a) 0.5 (b) 0.25 (c) 4 (d) 16
সমাধান:
বা, 0.25 = (√x)4
বা,
বা, x =
= 0.5
(ii) log10(7x-5) = 2 হলে x -এর মান
(a) 10 (b) 12 (c) 15 (d) 18
সমাধান:
log10(7x-5) = 2
বা, 7x – 5 = 102
বা, 7x = 100 + 5
বা, x =
বা, x = 15
(iii) log23 = a হলে log827 হবে,
(a) 3a (b) 1/a (c) 2a (d) a
সমাধান:
log827
=
= log23 = a
(iv) log√2 x = a হলে log2√2 x হবে,
(a) a/3 (b) a (c) 2a (d) 3a
সমাধান:
log2√2 x =
=
(v) logx 1/3 = – 1/3 হলে x এর মান হবে
(a) 27 (b) 9 (c) 3 (d) 1/27
logx
বা, (27) -1/3 = x -1/3
বা, x = 27
13. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন
(i) log4 log4 log4 256 এর মান কত হবে হিসাব করি
= log4 log4 log4 44
= log4 log4 4 log4 4
= log4 log4 4
= log41
= 0
∴ log4 log4 log4 256 =0
(ii) log
log
= log
= log 1
= 0
∴ log
(iii) দেখায় যে alogax = x
ধরি, p = alogax
উভয়পক্ষকে log নিয়ে পাই
log p = loga xlog a
বা, log p =
বা, log p = log x
বা, p = x
∴ alogax = x (প্রমাণিত)
(iv) logc2 . logx25 = log1016 . logc10 হলে x-এর মান নির্ণয় করি
logc2 . logx25 = log1016 . logc10
বা, logc2 . logx25 = logc16 [ logba.logcb = logca]
বা, logc2 . logx25 = logc24
বা, logc2 . logx25 = 4 logc2
বা, logx25 = 4
বা, x4 = 25
বা, x = √5