Koshe Dekhi 21 Class 9 | লগারিদম : কষে দেখি 21 Class 9

প্রিয় ছাত্র ছাত্রী তোমাদের প্রয়োজনমত সব প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য আমরা এই estudypoint.com ওয়েবসাইট বানিয়েছি। আজকের এই পোস্টে আমরা মধ্য শিক্ষা পর্ষদের নবম শ্রেণীর লগারিদম : কষে দেখি 21 class 9 এই চ্যাপ্টারের গণিতের সম্পূর্ণ উত্তর দিয়েছি।

যদি তোমাদের আরো ও গণিতের সমাধানের প্রয়োজন হয় তাহলে আমাদের এই ওয়েবসাইটের কমেন্ট বক্সে লিখে জানাবে। আমরা চেষ্টা করবো যত তাড়াতাড়ি তোমাদের প্রশ্নের উত্তর দিতে পারি।

Koshe Dekhi 21 Class 9


(i) log4$(\frac{1}{64})$

ধরি, log4$(\frac{1}{64})$ = x

বা, 4x = $\frac{1}{64}$

বা, 4x = $(\frac{1}{4})^3$

বা, 4x = 4-3

বা, x = -3

log4$(\frac{1}{64})$ = -3


(ii) log0.01 0.000001

ধরি , log0.01 0.000001 = x

বা, (0.01)= 0.000001

বা, (0.01)= (0.01)3

বা, x = 3

log 0.01 0.000001 = 3


(iii) log6 216

ধরি , log√6216 = x

বা, ( √6)= 216

বা, (√6)= (6)3

বা, (√6) = {(√6)2} 3

বা, (√6) = (√6 )6

বা, x = 6

∴ log√6 216 = 6


(iv) log 2√3 1728

ধরি , log 2√3 1728

বা, (2√3)x = 1728

বা, (2√3)x = 26✕33

বা, (2√3)x = 26 ✕ {(√3)2}3

বা, (2√3)x = 26 ✕ (√3)6

বা, (2√3)x = (2√3)6

বা, x = 6

log 2√3 1728 = 6


2. (a) 625 –এর লগারিদম 4 হলে , নিধান কী হবে হিসাব করে লিখি ।

মনে করি, নিধান x

logx 625 = 4

বা, x4 = 625

বা, x4 = 25 $\times$ 25

বা, x4 = 54

বা, x = 5

নিধান হবে 5


(b) 5832 –এর লগারিদম 6 হলে , নিধান কী  হবে হিসাব করে লিখি ।

মনে করি, নিধান x

বা, x6 = 5832

বা, x= 23 ✕ 36

বা, x6 = (√2)✕ 36

বা, x6 = (3√2)6

বা, x = 3√2

নিধান হবে 3√2


3 (a) 1 +log10a =2log10b হলে , a কে b দ্বারা প্রকাশ করি ।

1 + log10a = 2 log10b

বা, 1 =$\mathrm{log}_{10}^{b^2}$ – log10a

বা, log1010 = $\mathrm{log}_{10}^{\frac{b^2}{a}}$

বা, $\frac{b^2}{a}$ = 10

বা, a = $\frac{b^2}{10}$

কষে দেখি 21 class 9


(b) 3+$\mathrm{log}_{10}^{x}$ = 2$\mathrm{log}_{10}^{y}$ হলে, x কে y দ্বারা প্রকাশ করো ।

3+$\mathrm{log}_{10}^{x}$ = 2$\mathrm{log}_{10}^{y}$

বা, 3 = $\mathrm{log}_{10}^{y^2} – \mathrm{log}_{10}^{x}$

বা, 3 = $\mathrm{log}_{10}^{\frac{y^2}{x}}$ [log10a – log10b = $\mathrm{log}_{10}^{\frac{a}{b}}$]

বা, $\frac{y^2}{x}$ = 103

বা, x = $\frac{y^2}{10^3}$

বা, x = $\frac{y^2}{1000}$


4. মান নির্ণয় করিঃ

(a) log2 [log2{log3(log3273)}]

= log2 [log2 {log3 (log339)}]

= log2 [ log2 { log39 (log33)}]

= log2 [ log2 {log39}] [যেহেতু, log33 = 1]

= log2 [ log22 (log33)]

= log2 ( log2) [যেহেতু, log33 = 1]

= log21

= 0 [যেহেতু, logx1 = 0]


(b) $\frac{log\sqrt{27}+ log8 – log\sqrt{1000}}{log 1.2}$

= $\frac{log(3)^\frac{3}{2} + log 2^3 – log (10)^\frac{3}{2}}{log12 – log 10}$

= $\frac{\frac{3}{2}log3 + 3log 2 – \frac{3}{2}}{log 4 + log3 – 1}$

= $\frac{\frac{3}{2}(log+2log2 – 1)}{(log3 + 2log2 -1}$

= $\frac{3}{2}$


(c) $\mathrm{log}_{3}^{4} \times \mathrm{log}_{4}^{5} \times \mathrm{log}_{5}^{6} \times \mathrm{log}_{6}^{7} \times \mathrm{log}_{7}^{3}$

= $\frac{log4}{log3} \times \frac{log5}{log4} \times \frac{log6}{log5} \times \frac{log 7}{log 6} \times \frac{log 3}{log 7}$ [প্রতিটি logarithm এর নিধান একই]

= 1


(d) log10 384/5 + log10 81/32 + 3 log10 5/3 + log10 1/9

= log10384 – log105 + log1081 – log1032 + 3 log105 – 3 log103 + log101 – log109 [যেহেতু, log10 a/b = log10a – log10b]

= log1027 X 3 – log105 + log1034 – log1025 + 3 log105 – 3 log103 + 0 – log1032

= 2 log102 + 2 log105

= 2 ( log102 + log105)

= 2 log1010

= 2 $\times$ 1 [ log1010 = 1]

= 2


5. প্রমাণ করিঃ

(i) log$\frac{75}{16}$ – 2log$\frac{5}{9}$ + log$\frac{32}{243}$ = log 2

= log$\frac{75}{16}$ – 2log$\frac{5}{9}$ + log$\frac{32}{243}$

= log 75 – log 16 – 2log 5 + 2log 9 + log 32 – log 243

= log (52 X 3) – log 24 – 2 log 5 + 2 log 32 + log 25 – log 35

= 2 log 5 + log 3 – 4log 2 – 2 log 5 + 4 log 3 + 4 log 3 + 5 log 2 – 5 log 3

= 5 log 3 + log 2 – 5log 3

= log 2 (প্রমাণিত)


(ii) log1015 (1+log1530) + 1/2log1016 (1+log47) – log106 (log63 + 1 + log67) = 2

= log1015 (1+log1530) + 1/2log1016 (1+log47) – log106 (log63 + 1 + log67)

= log1015 + log1015.log1530 + $\frac{1}{2}$log1016 + $\frac{1}{2}$log1016.log47 – log106.log63 – log106 – log106 – log106.log67

= log1015 + log1030 + log104 + log107 – log103 – log106 – log107

= log10 $\frac{15\times30\times4\times7}{3\times6\times 7}$

=log10100 = log10(10)2 = 2log1010 = 2


(iii) প্রমান করি, log2log2log4256 + 2 log√22 = 5

log2log2log4256 + 2 log22

=log2log2log444 + 2 log2 (√2)2 = log2log24 + 4

= log2log222 + 4 = log22 + 4 = 1 + 4 = 5 (প্রমাণিত)


(iv) প্রমান করি, logx2 $\times$ logy2y $\times$ logz2z = $\frac{1}{8}$

L.H.S = logx2 $\times$ logy2y $\times$ logz2z

= logx2$^(x^2)^\frac{1}{2} \times$ logy2$^(y^2)^\frac{1}{2} \times$ logz2$^(z^2)^\frac{1}{2}$

= $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$

= $\frac{1}{8}$ (প্রমাণিত)


(v) প্রমাণ করি : logb3a X logc3b X loga3c = $\frac{1}{27}$

L.H.S = logb3a X logc3b X loga3c

= $\frac{loga}{logb^3}\times \frac{log b}{log c^3}\times \frac{log c}{log a^3}$

= $\frac{log a}{3 log b} \times \frac{log b}{3 log c} \times \frac{log c}{3 log a}$

= $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}$

= $\frac{1}{27}$ (প্রমাণিত)


(vi) প্রমাণ করি : $\frac{1}{\mathrm{log}_{xy}^{xyz}} + \frac{1}{\mathrm{log}_{yz}^{xyz}} + \frac{1}{\mathrm{log}_{zx}^{xyz}}$ =2

L.H.S = $\frac{1}{\mathrm{log}_{xy}^{xyz}} + \frac{1}{\mathrm{log}_{yz}^{xyz}} + \frac{1}{\mathrm{log}_{zx}^{xyz}}$

= log a2 – log bc + log b2 – log ca + log c2 – log ab

= 2 log a – log b – log c + 2 log b – log c – log a + 2 log c – log a – log b

= 2 log a + 2 log b + 2 log c – 2 log a – 2 log b – 2 log c

= 0 (প্রমাণিত)


(viii) প্রমাণ করি : $x^{log y – log z} \times y^{log z – log x} \times z^{log x – log y}$ = 1

মনে করি, P = $x^{log y – log z} \times y^{log z – log x} \times z^{log x – log y}$

উভয় পক্ষকে log নিয়ে পাই,

log p = log ($x^{log y – log z} \times y^{log z – log x} \times z^{log x – log y}$

= (log y – log z) log x + (log z – log x) log y + log x – log y) log z

∴ log p = log x . log y – log z . log x + log y . log z – log x. log y + log z. log x – log y. log z

∴ log p = 0

p = 2

$x^{log y – log z} \times y^{log z – log x} \times z^{log x – log y}$ = 1

kose dekhi 21 class 9


6(i) যদি log$\frac{x+y}{5}=\frac{1}{2}$ (log x + log y) হয় তাহলে দেখাও যে, $\frac{x}{y} + {y}{x}$ = 23

log $\frac{x+y}{5} = \frac{1}{2}$ (log x + log y)

বা, 2 log $\frac{x+y}{5}$ = log x + log y

বা, log $\frac{(x+y)^2}{25}$ = log xy

বা, $\frac{(x+y)^2}{25}$ = xy

বা, x2 + y2 + 2xy = 25xy

বা, x2 + y2 = 23xy

বা, $\frac{x^2+y^2}{xy}$ = 23

বা, $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ = 23


(ii) যদি a4 + b4 = 14a2b2 হয়, দেখাও যে log (a2 + b2) = log a + log b + 2 log 2

a4 + b4 = 14a2b2

বা, a4 + b4 + 2a2b2 = 16a2b2

বা, (a2 + b2)2 = (4ab)2

বা, a2 + b2 = 4ab

উভয় পক্ষে log নিয়ে পাই,

log (a2 + b2) = log 4ab = log 4 + log a + log b = 2 log 2 + log a + log b

∴ log (a2 + b2) = log a + log b + 2 log 2 (প্রমাণিত)


7. যদি $\frac{log x}{y – z} = \frac{log y}{z-x} = \frac{log z}{x-y}$ হয় তাহলে দেখাও যে, xyz = 1

ধরি, $\frac{log x}{y – z} = \frac{log y}{z-x} = \frac{log z}{x-y}$ = k

∴ log x = k(y-z)

log y = k(z-x)

log z = k(x-y)

∴ log x + log y + log z = k(y-z+z-x+x-y)

বা, log xyz = 0

বা, log xyz = log 1

বা, xyz = 1 (প্রমাণিত)


8. যদি $\frac{log x}{b-c}= \frac{log y}{c-a}=\frac{log z}{a-b}$ হয় তাহলে প্রমান কর যে,

(a) $x^{b+c} . y^{c+a} . z^{a+b}$ = 1

(b) $ x^{b2 + bc+c2}. y^{c2 + ca+a2} . z^{a2 + ab+b2}$ =1

সমাধান: (a)

ধরি, $\frac{log x}{b-c}= \frac{log y}{c-a}=\frac{log z}{a-b}$ = k

∴ log x = k (b-c)

(b+c) log x = k(b-c)(b+c)

(b+c) log x = k(b2 – c2)……………(i)

একইভাবে, (c+a) log y = k(c-a)(c+a)
= k(c2 – a2)……………….(ii)

(a+b) log z = k(a2-b2)…………………….(iii)

(i), (ii) ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই

বা, (b+c) log x + (c+a) log y + (a+b) log z = k(b2 -c2 + c2 – a2 +a2 -b2)

বা, log x(b+c) + log y(c+a) + log z(a+b) = 1

বা, log x(b+c) . y(c+a) . z(a+b) = log 1

বা, x(b+c) . y(c+a) . z(a+b) =1 (প্রমাণিত)


(b) ধরি, $\frac{log x}{b-c}= \frac{log y}{c-a}=\frac{log z}{a-b}$ = k

∴ log x = k(b-c)

(b2 + bc + x2) log x = k(b-c) (b2+bc+c2)

(b2 + bc + x2) log x = k(b3 + b2c + bc2 – b2c – bc2 – c3)

∴ (b2 + bc + x2) log x = k (b3 – c3)………..(i)

একইভাবে, (c2 + ca + a2) log y = k (c3 – a3)……………(ii)

(a2 + ab + b2) log z = k (a3 – b3)………….(iii)

(i), (ii) ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

(b2 + bc + x2) log x + (c2 + ca + a2) log y + (a2 + ab + b2) log z = (b3 – c3 +c3 – a3 +a3 – b3)

বা, $x^{(b^2 + bc + c^2)} . y^{(c^2 + ca + a^2)} . z^{(a^2+ab+b^2)}$ = 0

বা, $x^{(b^2 + bc + c^2)} . y^{(c^2 + ca + a^2)} . z^{(a^2+ab+b^2)}$ = log 1

বা, $x^{b^2 + bc + c^2} . y^{c^2 + ca + a^2} . z^{a^2+ab+b^2}$ = 1 (প্রমাণিত)


9. যদি a3-x . b5x = a5+x .b3x হয় তাহলে দেখাও যে, x log$\frac{b}{a}$ = log a

a3-x . b5x = a5+x .b3x

বা, $\frac{b^5x}{b^3x} = \frac{a^{5+x}}{a{3-x}}$

বা, b2x = a5+x-3+x

বা, b2x = a2x + 2

বা, b2x = a2x . a2

বা, $\frac{b}{a}^{2x}$ = a2

বা, $\frac{b}{a}^x $= a

উভয় পক্ষে log নিয়ে পাই,

x log $\frac{b}{a}$ = log a (প্রমাণিত)


সমাধান করি :

(a) log8 [log2 {log3 (4x+ 17)}] = $\frac{1}{3}$

বা, log2 {log3 (4x + 17)}] = $8^{\frac{1}{3}}$

বা, log2 {log3 (4x + 17)}] = 2

বা, log3 (4x + 17) = 22

বা, 4x + 17 = 34

বা, 4x = 81 -17

বা, 4x = 64

বা, 4x = 43

বা, x = 3


(b) log8x + log4x + log2x =11

বা, $\frac{log x}{log 8} + \frac{log x}{log 4} + \frac{log x}{log 2}$ =11

বা, $\frac{log x}{3 log 2} + \frac{log x}{2 log 2} + \frac{log x}{log 2}$ =11

বা, log x $\frac{2+3+6}{6 log 2} $= 11

বা, $\frac{11 log x}{6 log 2}$ =11

বা, log x = log 26

বা, x = 26

বা, x = 64


11. দেখাও log102-এর মান $\frac{1}{4}$ এবং $\frac{1}{3}$ এর মধ্যে অবস্থিত

ধরি, x = log102

10x = 2

এখন $\frac{1}{4}$ এবং $\frac{1}{3}$ এর হরগুলির ল.সা.গু = 12

10x = 2

বা, (10x)12 =212

1012x = 4096

যেহেতু 1000<4096<10000

বা, 103 <1012x <104

বা, 3 < 12x < 4

বা, $\frac{1}{4}$ < x <$\frac{1}{3}$

বা, $\frac{1}{4}$ < log102 <$\frac{1}{3}$

log102-এর মান $\frac{1}{4}$ এবং $\frac{1}{3}$ এর মধ্যে অবস্থিত


12. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) যদি log√x0.25 = 4 হয়, তাহলে x – এর মান

(a) 0.5 (b) 0.25 (c) 4 (d) 16

সমাধান:

বা, 0.25 = (√x)4

বা, $\frac{1}{4}$ = x2

বা, x = $\frac{1}{2}$

= 0.5


(ii) log10(7x-5) = 2 হলে x -এর মান

(a) 10 (b) 12 (c) 15 (d) 18

সমাধান:

log10(7x-5) = 2

বা, 7x – 5 = 102

বা, 7x = 100 + 5

বা, x = $\frac{105}{7}$

বা, x = 15


(iii) log23 = a হলে log827 হবে,

(a) 3a (b) 1/a (c) 2a (d) a

সমাধান:

log827

= $\frac{log 27}{log 8}= \frac{log 3^3}{log 2^3} = \frac{3 log 3}{3 log 2}$

= log23 = a


(iv) log√2 x = a হলে log2√2 x হবে,

(a) a/3 (b) a (c) 2a (d) 3a

সমাধান:

log2√2 x = $\frac{log x}{log 2\sqrt{2}} = \frac{log x}{log \sqrt{2}^3} = \frac{log x}{3 log \sqrt{2}}$

= $\frac{1}{3}$ log2√2 x = $\frac{a}{3}$


(v) logx 1/3 = – 1/3 হলে x এর মান হবে

(a) 27 (b) 9 (c) 3 (d) 1/27

logx $\frac{1}{3} = – \frac{1}{3}$

বা, (27) -1/3 = x -1/3

বা, x = 27


13. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন

(i) log4 log4 log4 256 এর মান কত হবে হিসাব করি

= log4 log4 log4 44

= log4 log4 4 log4 4

= log4 log4 4

= log41

= 0

∴ log4 log4 log4 256 =0


(ii) log$\frac{a^n}{b^n}$ + log$\frac{b^n}{c^n}$ + log$\frac{c^n}{a^n}$ এর মান কত হবে হিসাব করি

log$\frac{a^n}{b^n}$ + log$\frac{b^n}{c^n}$ + log$\frac{c^n}{a^n}$

= log$(\frac{a^n}{b^n} \times \frac{b^n}{c^n} \times \frac{c^n}{a^n})$

= log 1

= 0

∴ log$\frac{a^n}{b^n}$ + log$\frac{b^n}{c^n}$ + log$\frac{c^n}{a^n}$ = 0


(iii) দেখায় যে alogax = x

ধরি, p = alogax

উভয়পক্ষকে log নিয়ে পাই

log p = loga xlog a

বা, log p = $\frac{log x}{log a}\times$ log a

বা, log p = log x

বা, p = x

∴ alogax = x (প্রমাণিত)


(iv) logc2 . logx25 = log1016 . logc10 হলে x-এর মান নির্ণয় করি

logc2 . logx25 = log1016 . logc10

বা, logc2 . logx25 = logc16 [ logba.logcb = logca]

বা, logc2 . logx25 = logc24

বা, logc2 . logx25 = 4 logc2

বা, logx25 = 4

বা, x4 = 25

বা, x = √5

Table of Contents

Leave a Comment

error: Content is protected !!