কষে দেখি 1.2 ক্লাস 10 | Kose Dekhi 1.2 Class 10

আজকের এই পোস্টে আমরা মধ্য শিক্ষা পর্ষদের দশম শ্রেণীর একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি 1.2 ক্লাস 10 (Kose Dekhi 1.2 Class 10) এই চ্যাপ্টারের গণিতের সম্পূর্ণ উত্তর দিয়েছি।

যদি তোমাদের আরো ও গণিতের সমাধানের প্রয়োজন হয় তাহলে আমাদের এই ওয়েবসাইটের কমেন্ট বক্সে লিখে জানাবে। আমরা চেষ্টা করবো যত তাড়াতাড়ি তোমাদের প্রশ্নের উত্তর দিতে পারি।


কষে দেখি 1.2 ক্লাস 10 | Kose Dekhi


1.নিচের প্রতি ক্ষেত্রে প্রদত্ত মান গুলি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ হবে কিনা যাচাই করে লিখি।

(i) x2 + x + 1 = 0 , 1 ও -1

সমাধান:

x2 + x + 1 = 0 এ x=1 বসিয়ে

= 12 + 1 + 1

∴ 3 ≠ 0

আবার,

x2 + x + 1 = 0 এ x=-1 বসিয়ে

= (-1)2 + (-1) + 1

= 1 – 1 + 1

∴ 2≠ 0

∴ সমীকরণটির বীজ 1 ও -1 হবে না।


(ii) 8x2+7x=0 , 0 ও -2

8x2 + 7x = 0 এ x = 0 বসিয়ে

= 8 × 0 + 7 × 0

= 0

∴ একটি বীজ 0 হবে

আবার x=-2 বসিয়ে

8 × (-2)2 + 7 × (-2)

8 × 4 – 14

32 – 14

18 ≠ 0

∴ -2 মানটি বীজ হবে না


(iii) x +$\frac{1}{x} = \frac{13}{6}, \frac{5}{6} , \frac{4}{3}$

সমাধান:

x +$\frac{1}{x} = \frac{13}{6}$

x = $\frac{5}{6}$ বসিয়ে পাই

$\frac{5}{6} + \frac{1}{\frac{5}{6}}$

$\frac{5}{6} + \frac{6}{5} = \frac{25 + 36}{30} = \frac{61}{30} \neq \frac{13}{6}$

∴ একটি বীজ $\frac{5}{6}$ হবে না

আবার, x = $\frac{4}{3}$ বসিয়ে পাই

$\frac{4}{3} + \frac{1}{\frac{4}{3}}$

$\frac{4}{3} + \frac{3}{4} = \frac{16+9}{12} = \frac{25}{12} \neq \frac{13}{6}$

∴ একটি বীজ $\frac{4}{3}$ হবে না


(iv) x2 – $\sqrt{3x} – 6 = 0, -\sqrt{3}$ ও 2$\sqrt{3}$

x = $(-\sqrt{3})$ বসিয়ে

x2 – $\sqrt{3x}$ – 6

= $(-\sqrt{3})^2 – \sqrt{3}.-\sqrt{3}$ -6

= 3 + 3 – 6

= 0

∴ একটি বীজ $\sqrt{3}$ হব

আবার, x= 2$\sqrt{3}$ বসিয়ে পাই

$(2\sqrt{3})^2 – \sqrt{3} .2 \sqrt{3} – 6$

= 12 – 6 – 6

=0

অপর বীজটি হবে 2$\sqrt{3}$


2 (i) K এর কোন মানের জন্য 7x2+kx-3=0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ $\frac{2}{3}$ হবে ?

সমাধান:

7x2+kx-3 সমীকরণে x- এর পরিবর্তে $\frac{2}{3}$ বসিয়ে পাই

∴ 7 . $(\frac{2}{3})^2 + k . \frac{2}{3}$ – 3 = 0

বা, $ 7 \times \frac{4}{9} + \frac{2k}{3} -3 = 0$

বা, $\frac{28}{9} + \frac{2k}{3} = 3$

বা, $\frac{28 + 6k}{9}$ = 3

বা, 6k + 28 = 27

বা, 6k = 27 – 28

বা, 6k = -1

বা, k = -$\frac{1}{6}$

2 (ii) k এর কোন মানের জন্য  x2 + 3ax + k = 0  দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ –a হবে হিসাব করে লিখি ?

সমাধান:

x2 + 3ax + k = 0  সমীকরণে x = -a বসিয়ে পাই

বা, (-a)2 + 3 × a × (-a) + k= 0

বা, a2 – 3a2 + k = 0

বা, k = 3a2 – a2

বা, k = 2a2


3. যদি ax2 + 7x + b = 0 দ্বিঘাত সমীকরণে দুটি বীজ $\frac{2}{3}$ এবং -3 হয় তবে a ও b এর মান নির্ণয় করি

সমাধান:

যখন বীজ = $\frac{2}{3}$

∴ a $(\frac{2}{3})^2 + 7. \frac{2}{3}$ + b =0

বা, $\frac{4a}{9} + \frac{14}{3} + b = 0$

বা, $\frac{4a + 42}{9}$+ b = 0

বা, b = -$\frac{4a+42}{9}$………………..(i)

আবার, বীজ যখন -3 হবে,

a(-3)2 + 7 (-3) + b = 0

বা, 9a – 21 +b =0

বা, b = 21 – 9a ………………(ii)

(i) ও (ii) নং b-এর মান তুলনা করে পাই

বা, 21 – 9a = -$\frac{4a+42}{9}$

বা, 189 – 81a = -4a – 42

বা, -81a + 4a = -42 – 189

বা, -77a = -231

বা, a = 3

(ii) নং সমীকরণে a = 3 বসিয়ে পাই

b = 21 – 9a

= 21 – 9 × 3

= 21 – 27

b = -6

∴ a = 3 ও b= -6


4. সমাধান করি:

(i) 3y2 – 20 = 160 – 2y2

বা, 3y2 + 2y2 = 160 + 20

বা, 5y2 = 180

বা, y2 = $\frac{180}{5}$

বা, y2 = 36

বা, y = $\pm\sqrt{36}$

বা, y = $\pm 6$

∴ নির্ণেয় সমাধান y = +6 , y = -6


(ii) (2x+1)2 + (x+1)2 = 6x + 47

বা, 4x2 + 4x + 1 + x2 + 2x + 1 = 6x + 47

বা, 5x2 + 6x + 2 = 6x + 47

বা, 5x2 + 6x + 2 – 6x – 47 = 0

বা, 5x2 – 45 = 0

বা, 5x2 = 45

বা, x2 = $\frac{45}{5}$

বা, x2 = 9

বা, x = $\pm \sqrt{9}$

বা, x =$\pm 3$

∴ নির্ণেয় সমাধান x = +3 , x = -3


(iii) (x-7) (x-9) = 195

বা, x2 – 9x – 7x + 63 = 195

বা, x2 – 16x + 63 – 195 = 0

বা, x2 – 16x – 132 = 0

বা, x2 – (22 – 6)x – 132 = 0

বা, x2 – 22x + 6x – 132 = 0

বা, x (x -22) +6 (x-22) = 0

বা, (x-22) (x+6) = 0

আবার

বা, x-22 = 0

বা, x = 22

অথবা,

বা, x+6 = 0

বা, x = -6

∴ নির্ণেয় সমাধান x = 22, -6


(iv) 3x – $\frac{24}{x} = \frac{x}{3}$

বা, $\frac{3x^2 – 24}{x} = \frac{x}{3}$

বা, 9x2 – 72 = x2

বা, 9x2 – x2 = 72

বা, 8x2 = 72

বা, x2 = $\frac{72}{8}$

বা, x2 = 9

বা, x = $\pm\sqrt{9}$

বা, x = $\pm 3$

∴ নির্ণেয় সমাধান x = +3, -3


(v) $\frac{x}{3} + \frac{3}{x} = \frac{15}{x} , x\neq0$

বা, $\frac{x^2 + 9}{3x} = \frac{15}{x}$

বা, x2 + 9 = $\frac{15 \times 3x}{x}$

বা, x2 + 9 = 45

বা, x2 = 45 – 9

বা, x2 = 36

বা, x = $\pm\sqrt{36}$

বা, x = $\pm 6$

∴ নির্ণেয় সমাধান x = +6, -6


(vi) 10x – 1/x = 3

বা, $\frac{10x^2 -1}{x}$ = 3

বা, 10x2 -1 = 3x

বা, 10x2 – 3x -1 = 0

বা, 10x2 – (5-2)x -1 = 0

বা, 10x2 – 5x + 2x -1 = 0

বা, 5x (2x -1) + 1 (2x -1) = 0

বা, (2x-1) (5x +1) = 0

দুটি রাশির গুনফল শুন্য হলে উহাদের যেকোন একটি রাশির মান শুন্য হবেই

2x – 1 = 0

বা, 2x = 1

x =$\frac{1}{2}$

আবার ,

5x + 1 = 0

বা, 5x = -1

বা, x = -$\frac{1}{5}$

∴ নির্ণেয় সমাধান x = $\frac{1}{2} , – \frac{1}{5}$


(vii) $\frac{2}{x^2} – \frac{5}{x} +2$ = 0

বা, $\frac{2 – 5x + 2x^2}{x^2}$ = 0

বা, 2x2 – 5x + 2 = 0

বা, 2x2 – (4+1)x + 2 = 0

বা, 2x2 – 4x -x + 2 = 0

বা, 2x (x – 2) – 1 (x-2) = 0

বা, (x-2) (2x-1) =0

দুটি রাশির গুনফল শুন্য হলে উহাদের যেকোন একটি রাশির মান শুন্য হবেই

x-2 = 0

বা, x = 2

আবার ,

2x -1 = 0

বা, 2x = 1

বা, x = $\frac{1}{2}$


(viii) $\frac{x-2}{x+2} + 6(\frac{x-2}{x-6}) = 1 , x\neq -2, 6$

বা, 6 $(\frac{x-2}{x-6}) = 1 – \frac{x-2}{x+2}$

বা, $\frac{6x – 12}{x-6} = \frac{x+2 – x+2}{x+2}$

বা, $\frac{6x – 12}{x-6} = \frac{4}{x+2}$

বা, 6x2 + 12x – 12x – 24 = 4x – 24

বা, 6x2 – 4x – 24 + 24 = 0

বা, 6x2 – 4x = 0

বা, 2x (3x -2) = 0

বা, 3x – 2 = 0

বা, 3x = 2

বা, x = $\frac{2}{3}$

∴ নির্ণেয় সমাধান x = $\frac{2}{3}$


(ix) $\frac{1}{x-3} – \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}, x\neq3, -5$

বা, $\frac{(x+5) – (x-3)}{(x-3)(x+5)} = \frac{1}{6}$

বা, $\frac{x+5 – x+3)}{x^2 + 5x – 3x – 15} = \frac{1}{6}$

বা, $\frac{x+5 – x+3)}{x^2 + 2x – 15} = \frac{1}{6}$

বা, x2 + 2x – 15 = 48

বা, x2 + 2x – 15 – 48 = 0

বা, x2 + 2x – 63 = 0

বা, x2 + (9-7)x – 63 = 0

বা, x2 + 9x – 7x – 63 = 0

বা, x (x+9) – 7 (x+9) = 0

বা, (x+9) (x-7) = 0

দুটি রাশির গুনফল শুন্য হলে উহাদের যেকোন একটি রাশির মান শুন্য হবেই

x+9 = 0

বা, x = -9

আবার ,

x – 7 = 0

বা, x = 7

∴ নির্ণেয় সমাধান x = -9, 7


(x) $\frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x} = 2\frac{1}{12} , x\neq0,-1$

বা, $\frac{x^2+(x+1)^2}{x(x+1)} = \frac{25}{12}$

বা, $\frac{x^2 +x^2+2x+1}{x^2+x} = \frac{25}{12}$

বা, $\frac{2x^2+2x+1}{x^2+x} = \frac{25}{12}$

বা, 25x2 + 25x = 24x2 + 24x +12

বা, 25x2 – 24x2 +25x – 24x – 12 = 0

বা, x2 + x – 12 = 0

বা, x2 + (4-3)x -12 = 0

বা, x2 + 4x – 3x -12 = 0

বা, x(x+4) – 3 (x+4) = 0

বা, (x+4) (x-3) = 0

দুটি রাশির গুনফল শুন্য হলে উহাদের যেকোন একটি রাশির মান শুন্য হবেই

x+4 = 0

বা, x = -4

আবার ,

x-3 = 0

বা, x = 3

∴ নির্ণেয় সমাধান x = -4, 3


(xi) $\frac{ax+b}{a+bx} = \frac{cx+d}{c+dx} [a\neq b, c\neq d], x\neq -\frac{a}{b}, -\frac{c}{d}$

বা, acx + adx2 + bc + bdx = acx + ad + bcx2 + bdx

বা, acx + adx2 + bc + bdx – acx – ad – bcx2 – bdx = 0

বা, adx2 + bc – ad – bcx2 = 0

বা, adx2 – bcx2 = ad – bc

বা, x2 ( ad – bc) = ad – bc

বা, x2 = $\frac{ad-bc}{ad-bc}$

বা, x2 = 1

বা, x = $\pm1$

x – এর মান 1 , -1


(xii) $ (2x+1) + \frac{3}{2x+1} =4 , x\neq-\frac{1}{2}$

বা, $\frac{(2x+1)^2 + 3}{2x+1}$ = 4

বা, $\frac{4x^2 + 4x + 1+3}{2x+1}$ = 4

বা, $\frac{4x^2+4x+4}{2x+1}$ = 4

বা, 4 (x2 + x + 1) = 4 (2x + 1)

বা, x2 + x + 1 = 2x + 1

বা, x2 + x – 2x = 1-1

বা, x2 -x = 0

বা, x(x-1) = 0

বা, x – 1 = 0

বা, x = 1


(xiii) $\frac{x+1}{2} + \frac{2}{x+1} = \frac{x+1}{3} + \frac{3}{x+1} – \frac{5}{6} , x\neq -1$

বা, $\frac{x+1}{2} – \frac{x+1}{3} + \frac{5}{6} = \frac{3}{x+1} – \frac{2}{x+1}$

বা, $\frac{3x+3-2x-2+5}{6} = \frac{3-2}{x+1}$

বা, $\frac{x+6}{6} = \frac{1}{x+1}$

বা, x2 + 7x + 6 = 6

বা, x2 + 7x = 0

বা, x(x+7) = 0

বা, x+7 = 0

বা, x = -7


(xiv) $\frac{12x+17}{3x+1} – \frac{2x+15}{x+7} = 3\frac{1}{5} , x\neq-\frac{1}{3} , -7$

বা, $\frac{(12x+17)(x+7) – (2x+15)(3x+1)}{(3x+1)(x+7)} = \frac{16}{5}$

বা, $\frac{(12x^2+84x+17x +119) – (6x^2+45x+2x+15)}{3x^2+21x+x+7} = \frac{16}{5}$

বা, $\frac{12x^2+84x+17x +119 – 6x^2-45x-2x-15}{3x^2+21x+x+7} = \frac{16}{5}$

বা, $\frac{6x^2+54x+104}{3x^2+22x+7} = \frac{16}{5}$

বা, 5 (6x2 + 54x + 104) = 16 (3x2 + 22x + 7)

বা, 30x2 + 270x + 520 = 48x2 + 352x + 112

বা, 48x2 + 352x + 112 = 30x2 + 270x + 520

বা, 48x2 – 30x2 + 352x – 270x + 112 – 520 = 0

বা, 18x2 + 82x – 408 = 0

বা, 2 (9x2 + 41x – 204) = 0

বা, 9x2 + 41x – 204 = 0

বা, 9x2 + (68 – 27)x – 204 = 0

বা, 9x2 + 68x – 27x – 204 = 0

বা, x (9x + 68) – 3 (9x + 68) = 0

বা, (x-3) (9x+68) = 0

দুটি রাশির গুনফল শুন্য

x-3 = 0

বা, x = 3

আবার,

9x + 68 = 0

বা, 9x = -68

বা, x = -$\frac{68}{9}$

নির্ণেয় সমাধান = -$\frac{68}{9}$, 3


(xv) $\frac{x+3}{x-3} + 6(\frac{x-3}{x+3}) = 5, x\neq3 , -3$

ধরি, $\frac{x+3}{x-3} = a$

বা, a + $\frac{6}{a}$ = 5

বা, $\frac{a^2+6}{a} = 5$

বা, a2 + 6 = 5a

বা, a2 – 5a + 6 = 0

বা, a2 – (3+2)a + 6 = 0

বা, a2 – 3a – 2a + 6 = 0

বা, a(a-3) -2 (a-3) = 0

বা, (a-3) (a-2) = 0

দুটি রাশির গুনফল শুন্য

a-3 = 0

বা, a = 3

আবার, a-2 = 0

বা, a = 2

$\frac{x+3}{x-3} = a$ বসিয়ে পায়

a = 3

$\frac{x+3}{x-3}$ = 3

x+3 = 3x- 9

বা, x – 3x = -9 – 3

বা, -2x = -12

বা, x = 6

আবার,

a = 2

বা, $\frac{x+3}{x-3}$ = 2

বা, 2x – 6 = x + 3

বা, 2x – x = 3 + 6

বা, x = 9

নির্ণেয় সমাধান x = 6,9


(xvi)$\frac{1}{a+b+x} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{x} , x \neq 0 , – (a+b)$

বা, $\frac{1}{a+b+x} – \frac{1}{x}= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $

বা, $\frac{x -a -b -x}{x(a+b+x)} = \frac{b+a}{ab}$

বা, $\frac{-a-b}{x(a+b+x)} = \frac{b+a}{ab}$

বা, $\frac{-(a+b)}{ax + bx + x^2} = \frac{a+b}{ab}$

বা, $\frac{-1}{x^2+ab+bx} = \frac{1}{ab}$ (উভয় পক্ষকে a+b দিয়ে ভাগ করে পাই)

বা, x2 + ax + bx = -ab

বা, x2 + ax + bx + ab = 0

বা, x(a+x) + b (x+a) = 0

বা, (a+x) (b+x) = 0

বা, a+x = 0

বা, x = -a

আবার,

b+x = 0

বা, x = -b

নির্ণেয় সমাধান x = -a, b


(xvii) $(\frac{x+a}{x-a})^2 – 5(\frac{x+a}{x-a})^2 +6 = 0 x\neq a$

ধরি, $\frac{x+a}{x-a} = y$

y2 – 5y + 6 = 0

বা, y2 – (3+2)y + 6 = 0

বা, y2 – 3y – 2y + 6

বা, y (y-3) – 2 (y-3) = 0

বা, (y-3) (y-2) = 0

আবার,

y-3 = 0

বা, y = 3

বা, $\frac{x+a}{x-a} = 3 \frac{x+a}{x-a} = y$ বসিয়ে পাই

বা, 3x – 3a = x+a

বা, 3x -x = a + 3a

বা, 2x = 4a

বা, x = $\frac{4a}{2}$

বা, x = 2a

(y-2) = 0

বা, y = 2

বা, $\frac{x+a}{x-a} = 2 \frac{x+a}{x-a} = y$ বসিয়ে পাই

বা, 2x – 2a = x+a

বা, 2x – x = a+2a

বা, x = 3a

নির্ণেয় সমাধান x = 2a, 3a


(xviii) $\frac{1}{x} – \frac{1}{x+b} = \frac{1}{a} – \frac{1}{a+b} x \neq 0, -b$

বা, $\frac{x+b-x}{x(x+b)} = \frac{a+b-a}{a(a+b)}$

বা, $\frac{b}{x^2+bx} = \frac{b}{a^2+ab}$

বা, x2 + bx = a2 + ab

বা, x2 + bx – a2 – ab = 0

বা, x2 + bx – a (a-b) = 0

বা, x2 + {(a+b) -a} x-a(a+b) = 0

বা, x2 + (a+b)x – ax – a(a+b) = 0

বা, x (x+a+b) – a (x+a+b) = 0

বা, (x+a+b) (x-a) = 0

বা, x+a+b = 0

বা, x = – a – b

বা, x = – (a+b)

আবার,

বা, x-a = 0

বা, x = a

নির্ণেয় সমাধান x = -a (a+b) , a


(xix) $\frac{1}{(x-1)(x-2)} + \frac{1}{(x-2)(x-3)} + \frac{1}{(x-3)(x-4)} = \frac{1}{6} x \neq$ 1,2,3,4

বা, $\frac{1}{(x-1)(x-2)} + \frac{1}{(x-2)(x-3)} + \frac{1}{(x-3)(x-4)} = \frac{1}{6} $

বা, $\frac{1}{x-2} – \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-3} – \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-4} – \frac{1}{x-3}$

বা, $\frac{1}{x-4} – \frac{1}{x-1} = \frac{1}{6}$

বা, $\frac{(x-1) – (x-4)}{(x-4)(x-1)} = \frac{1}{6}$

বা, $\frac{x-1-x+4}{x^2-x-4x+4} = \frac{1}{6}$

বা, $\frac{3}{x^2-5x+4} = \frac{1}{6}$

বা, x2 – 5x + 4 = 18

বা, x2 – 5x + 4 – 18 = 0

বা, x2 – 5x – 14 = 0

বা, x2 – (7-2)x – 14 = 0

বা, x2 – 7x + 2x – 14 = 0

বা, x (x-7) + 2(x-7) = 0

বা, (x-7) (x+2) = 0

বা, x-7 = 0

বা, x = 7

আবার,

x+2 = 0

বা, x = -2

নির্ণেয় সমাধান x = 7, -2


(xx) $\frac{a}{x-a} + \frac{b}{x-b} = \frac{2c}{x-c} x \neq a,b,c$

বা, $\frac{a}{x-a} + \frac{b}{x-b} = \frac{2c}{x-c}$

বা, $\frac{a}{x-a} + \frac{b}{x-b} = \frac{c}{x-c} + \frac{x}{x-c}$

বা, $\frac{a}{x-a} – \frac{c}{x-c} = \frac{c}{x-c} – \frac{b}{x-b}$

বা, $\frac{a(x-c)-c(x-a)}{(x-a)(x-c)} = \frac{c(x-b) -b(x-a)}{(x-c)(x-b)}$

বা, $\frac{ax-ac-cx+ac}{(x-a)(x-c)} = \frac{cx-bc-bx+bc}{(x-c)(x-b)}$

বা, $\frac{ax-cx}{(x-a}{x-c)} = \frac{cx-bx}{(x-c)(x-b)}$

বা, $\frac{x(a-c)}{(x-a}{x-c)} = \frac{x(c-b)}{(x-c)(x-b)}$

বা, $\frac{x(a-x)}{x-a} = \frac{x(c-b)}{x-b}$ (উভয়পক্ষকে (x-c) দিয়ে গুন করে পাই)

বা, $\frac{x(a-x)}{x-a} – \frac{x(c-b)}{x-b} =0$

বা, $x(\frac{a-c}{x-a} – \frac{c-b}{x-b}) = 0$

x= 0

অথবা

বা, $\frac{a-c}{x-a} – \frac{c-b}{x-b} = 0$

বা, $\frac{a-c}{x-a} = \frac{c-b}{x-b}$

বা, ax – ab – cx + bc = cx – ac – bx + ab

বা, ax – cx – cx + bx = ab – bc – ac + ab

বা, ax + bx – 2cx = 2ab – bc – ac

বা, x ( a+b-2c) = 2ab – bc – ac

বা, x = $\frac{2ab – bc – ac}{a+b-2c}$

নির্ণেয় সমাধান x = 0, $\frac{2ab – bc – ac}{a+b-2c}$


(xxi) $x^2 – (\sqrt{3} +2)x + 2\sqrt{3} = 0$

বা, $x^2 – \sqrt{3}x – 2x + 2\sqrt{3} = 0$

বা, $ x(x-\sqrt{3}) – 2 (x-\sqrt{3}$ = 0

বা, $(x-2) (x-\sqrt{3})$ = 0

দুটি রাশির গুনফল শুন্য হলে উহাদের যেকোন একটি রাশির মান শুন্য

x-2 = 0

বা, x= 2

আবার,

$(x-\sqrt{3})$ = 0

বা, x = $\sqrt{3}$

নির্ণেয় সামধান x = 2, $\sqrt{3}$

Leave a Comment

error: Content is protected !!