আজকের এই পোস্টে আমরা মধ্য শিক্ষা পর্ষদের দশম শ্রেণীর একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ : কষে দেখি 1.3 ক্লাস 10 (Kose Dekhi 1.3 Class 10) এই চ্যাপ্টারের গণিতের সম্পূর্ণ উত্তর দিয়েছি।
যদি তোমাদের আরো ও গণিতের সমাধানের প্রয়োজন হয় তাহলে আমাদের এই ওয়েবসাইটের কমেন্ট বক্সে লিখে জানাবে। আমরা চেষ্টা করবো যত তাড়াতাড়ি তোমাদের প্রশ্নের উত্তর দিতে পারি।
কষে দেখি 1.3 ক্লাস 10 | Kose Dekhi
1. দুটি ধনাত্মক সংখ্যার অন্তর 3 এবং তাদের বর্গের সমষ্টি 117। সংখ্যা দুটি হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, দুটি ধনাত্মক সংখ্যা = x, (x+3)
শর্তানুযায়ী:
বা, x2 + (x+3)2 = 117
বা, x2 + x2 + 6x + 9 = 117
বা, 2x2 + 6x + 9 – 117 = 0
বা, 2x2 + 6x – 108 = 0
বা, 2 (x2 + 3x – 54) = 0
বা, x2 + 3x – 54 = 0
বা, x2 + (9-6)x – 54 = 0
বা, x2 + 9x – 6x -54 = 0
বা, x(x+9) – 6 (x + 9) = 0
বা, (x+9) (x-6) = 0
দুটি রাশির গুনফল শুন্য হলে উহাদের যেকোন একটি রাশির মান শুন্য হবেই
x+9 = 0
বা, x = -9
আবার,
x – 6 = 0
বা, x = 6
সংখ্যা দুটি ধনাত্মক x = -9 মানটি গ্রহনযোগ্য নয়
সংখ্যা দুটি হল = 6, (6+3) = 9
2 একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতা দ্বিগুণ অপেক্ষা 18 মিটার বেশি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 360 বর্গমিটার হলে তার উচ্চতা নির্ণয় করি ।
সমাধান:
ধরি, ত্রিভুজের উচ্চতা = x মিটার এবং ভূমি = 2x + 18 = 2 (x+9) মিটার
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$× ভূমি × উচ্চতা
শর্তানুযায়ী:
$\frac{1}{2} \times x \times 2 (x+9) = 360$
বা, x2 + 9x – 360 = 0
বা, x2 + (24 – 15)x – 360 = 0
বা, x2 + 24x – 15x – 360 = 0
বা, x (x+24) – 15 (x+ 24) = 0
বা, (x+24) (x-15) = 0
দুটি রাশির গুনফল শুন্য হলে উহাদের যেকোন একটি রাশির মান শুন্য হবেই
x + 24 = 0
বা, x = -24
আবার, x – 15 = 0
বা, x = 15
ত্রিভুজের উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে তাই x = -24 গ্রহনযোগ্য নয়
উত্তর: ত্রিভুজের উচ্চতা = 15 মিটার
3. যদি একটি অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যার পাঁচ গুণ, তার বর্গের দ্বিগুণ অপেক্ষা 3 কম হয় তবে সংখ্যাটি নির্ণয় কর।
ধরি, অখন্ড ধনাত্মক সংখ্যাটি = x
প্রশ্নানুসারে:
বা, 2x2 – 5x =3
বা, 2x2 – 5x – 3 = 0
বা, 2x2 – (6-1)x – 3 = 0
বা, 2x2 – 6x + x – 3 = 0
বা, 2x (x-3) +1 (x-3) = 0
বা, (x-3) (2x+1) = 0
দুটি রাশির গুনফল শুন্য হলে উহাদের যেকোন একটি রাশির মান শুন্য হবেই
x – 3 = 0
বা, x = 3
আবার,
2x + 1 = 0
বা, 2x = -1
বা, x = -$\frac{1}{2}$
ধনাত্মক x =-$\frac{1}{2}$ মানটি গ্রহনযোগ্য নয়
অখন্ড সংখ্যাটি হল = 3
4. দুটি স্থানের মধ্যে দূরত্ব 200 কিমি ; এক স্থান হতে অপর স্থানে মোটর গাড়িতে যেতে যে সময় লাগে জীপগাড়িতে যেতে তার চেয়ে 2 ঘণ্টা সময় কম লাগে। মোটরগাড়ি অপেক্ষা জিপ গাড়ির গতিবেগ ঘন্টায় 5 কিমি বেশি হলে, মোটরগাড়ির গতিবেগ হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি মোটরগাড়ির গতিবেগ x কিমি/ঘন্টা
জিপগাড়ির গতিবেগ (x+5) কিমি/ঘন্টা
200 কিমি দুরত্ব যেতে মোটরগাড়ির সময় লাগে $\frac{200}{x}$ ঘন্টা
200 কিমি দুরত্ব যেতে জিপগাড়ির সময় লাগে $\frac{200}{x+5}$ঘন্টা
প্রশ্নানুসারে:
$\frac{200}{x}-\frac{200}{x+5}$ =2
বা, $\frac{200x + 1000 – 200x}{x(x+5)} $ = 2
বা, $\frac{1000}{x^2+5x} $ = 2
বা, 2x2 + 10x = 1000
বা, 2x2 + 10x – 1000 = 0
বা, 2 (x2 + 5x – 500) = 0
বা, x2 + 5x – 500 = 0
বা, x2 + (25-20)x – 500 = 0
বা, x2 + 25x -20x – 500 = 0
বা, x (x+25) -20(x+25) = 0
বা, (x+25) (x-20) = 0
বা, x+25 = 0
x = -25 গ্রহণযোগ্য নয় কারণ গতিবেগ ঋণাত্মক সম্ভব নয়
আবার, x – 20 = 0
বা, x = 20
মোটরের গতিবেগ 20 কিমি/ঘন্টা
5. অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির ক্ষেত্রফল 2000 বর্গমিটার এবং পরিসীমা 180 মিটার । অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য x মিটার
আয়তাকার জমির পরিসীমা 180 মিটার
আয়তাকার জমির প্রস্থ = $\frac{180}{2}$ – দৈর্ঘ্য = 90 – x মিটার
প্রশ্নানুযায়ী:
x (90 – x) = 2000
বা, 90x – x2 = 2000
বা, x2 – 90x + 2000 = 0
বা, x2 – (50+40)x + 2000 = 0
বা, x2 – 50x – 40x + 2000 = 0
বা, x ( x-50) – 40 (x- 50) = 0
বা, (x-40) (x-50) = 0
x – 40 = 0
x = 40 হলে প্রস্থের মান (90 – 40) = 50 মিটার
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য অপেক্ষা প্রস্থ বড় নয়
x = 50 অর্থাৎ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 50 মিটার এবং প্রস্থ (90 – 50) = 40 মিটার
6. দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার দশকের ঘরের অংক এককের ঘরের অংক অপেক্ষা 3 কম । সংখ্যাটি থেকে উহার অংক দুটির গুনফল বিয়োগ করলে বিয়োগফল 15 হয় । সংখ্যাটির একক ঘরের অংক হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, একক = x , দশক = x – 3
সংখ্যাটি = 10 (x-3) + x = 10x – 30 +x 11x – 30
শর্তানুসারে:
11x – 30 – x (x-3) = 15
বা, 11x – 30 – x2 + 3x = 15
বা, 14x – 30 – x2 – 15 = 0
বা, -x2 + 14x – 45 = 0
বা, – ( x2 – 14x + 45) = 0
বা, x2 – 14x + 45 = 0
বা, x2 – (9+5)x + 45 = 0
বা, x2 – 9x – 5x + 45 = 0
বা, x (x-9) -5 (x-9) = 0
বা, (x-9) (x-5) = 0
দুটি রাশির গুনফল শুন্য হলে উহাদের একটি রাশির মান অবশ্যই শুন্য হবে
x – 9 = 0 অথবা x -5 =0
বা, x = 9 অথবা x = 5
সংখ্যাটির একক ঘরের অঙ্ক 5 অথবা 9
7. আমাদের স্কুলের চৌবাচ্চায় দুটি নল আছে নল দুটি দিয়ে চৌবাচ্চাটি (11$\frac{1}{9}) মিনিটে পূর্ণ হয় ।যদি নল দুটি আলাদা ভাবে খোলা থাকে তবে চৌবাচ্চাটি ভর্তি করতে একটি নল অপর নলটি থেকে 5 মিনিট বেশি সময় নেয় ,প্রত্যেকটি নল পৃথকভাবে চৌবাচ্চা থেকে কত সময়ে পূর্ণ করবে হিসাব করে লিখি ।
সমাধান:
ধরি, ১ম নলটি পৃথকভাবে x মিনিটে পূর্ণ করতে পারে
নল দুটি একত্রে 1 মিনিটে পূর্ণ করে $(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5})$ অংশ
দুটি একত্রে সম্পুর্ন অংশ পূর্ণ করে $\frac{x^2+5x}{2x+5} = \frac{x+5+x}{x(x+5)} = \frac{2x+5}{x^2+5x}$
শর্তানুসারে:
$\frac{x^2+5x}{2x+5} = 11\frac{1}{9}$
বা, $\frac{x^2+5x}{2x+5} = \frac{100}{9}$
বা, 9x2 + 45x = 200x + 500
বা, 9x2 + 45x – 200x – 500 = 0
বা, 9x2 – 155x – 500 = 0
বা, 9x2 – (180- 25)x – 500 = 0
বা, 9x2 – 180x + 25x – 500 = 0
বা, 9x (x – 20) + 25 (x – 20) = 0
বা, (x – 20) (9x + 25) = 0
দুটি রাশির গুনফল শুন্য হলে উহাদের যেকোন 1টি রাশির মান অবশ্যই শুন্য হবে
বা, x – 20 = 0 অথবা 9x + 25 = 0
x= 20 অথবা x = $\frac{-25}{9}$
সময় ঋণাত্মক হতে পারে না তাই x = $\frac{-25}{9}$ মানটি গ্রহণ যোগ্য নয়
x = 20
প্রথমনলটি 20 মিনিটে এবং দ্বিতীয়নলটি 20+5 = 25 মিনিটে পৃথকভাবে পূর্ণ করতে পারবে
8. পর্ণা ও পীযূষ কোন একটি কাজ একত্রে 4 দিনে সম্পন্ন করে । আলাদাভাবে একা কাজ করলে পর্নার যে সময় লাগবে , পীযুষের তার চেয়ে 6 দিন বেশি সময় লাগবে । পর্ণা একাকী কতদিনে কাজটি সম্পন্ন করবে করতে পারবে হিসাব করে লিখি ।
সমাধান:
ধরি, পর্না একাকী x দিনে কাজটি করতে পারে
পিযুষ একাকী x+6 দিনে কাজটি করতে পারে
উভয়ে একত্রে 1 দিনে করে $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+6}$
= $\frac{x+6+x}{x(x+6)} = \frac{2x+6}{x^2+6x}$
উভয়ে সম্পুর্ন কাজটি করতে পারবে $\frac{x^2 + 6x}{2x+6}$ দিনে
প্রশ্নানুসারে:
$\frac{x^2 + 6x}{2x+6}$ = 4
বা, x2 + 6x = 8x +24
বা, x2 + 6x – 8x – 24 = 0
বা, x2 – 2x – 24 = 0
বা, x2 – (6-4)x – 24 = 0
বা, x2 – 6x + 4x – 24 = 0
বা, x (x – 6) +4 (x-6) = 0
বা, (x-6) (x+4) = 0
দুটি রাশির গুনফল শুন্য হলে উহাদের যেকোন 1টি রাশির মান অবশ্যই শুন্য হবে
x- 6 = 0 অথবা x + 4 = 0
বা, x = 6 অথবা বা, x = -4
দিনের মান ঋণাত্মক হতে পারে না মানটি অগ্রাহ্য
পর্ন একাকী কাজটি 6 দিনে করতে পারবে
9. কলমের মূল্য প্রতি ডজনে 6 টাকা কমলে 30 টাকায় আরো তিনটি বেশি কলম পাওয়া যাবে । কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য নির্ণয় করি ।
সমাধান:
ধরি, প্রতি ডজন কলমের বর্তমান মূল্য x টাকা
30 টাকায় কলম পাওয়া যাবে $\frac{30}{x}$ ডজন
কলমের মূল্য প্রতি ডজন কলমের মূল্য হবে (x – 6) টাকা
30 টাকায় কলম পাওয়া যাবে $\frac{30}{x-6}$ ডজন
প্রশ্নানুসারে:
$\frac{30}{x-6} – \frac{30}{x} = \frac{3}{12}$
বা, $\frac{30x – 30(x-6)}{x(x-6)} = \frac{1}{3}$
বা, $\frac{180}{x(x-6)} = \frac{1}{4}$
বা, x2 – 6x = 720
বা, x2 – 6x -720 = 0
বা, x2– (30-24)x – 720 = 0
বা, x2 – 30x + 24x – 720 = 0
বা, x (x-30) + 24 (x- 30) = 0
বা, (x+24) (x-30) = 0
x + 24 = 0 অথবা x – 30 = 0
বা, x = -24 অথবা x = 30
x$\neq$ -24 কারণ মূল্য ঋণাত্মক সম্ভব নয়
প্রতি ডজন কলমের বর্তমান 30 টাকা