(সূচকের নিয়মাবলী: কষে দেখি 2 ক্লাস 9) WBBSE Class 9 Kose Dekhi 2 Laws Of Indices

WBBSE Class 9 Kose Dekhi 2 Laws Of Indices

প্রিয় ছাত্র ছাত্রী তোমাদের প্রয়োজনমত সব প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য আমরা এই estudypoint.com ওয়েবসাইট বানিয়েছি।

আজকের এই পোস্টে আমরা মধ্য শিক্ষা পর্ষদের নবম শ্রেণীর সূচকের নিয়মাবলী: কষে দেখি – 2 ক্লাস 9 (Kose Dekhi 2) এই চ্যাপ্টারের গণিতের সম্পূর্ণ উত্তর দিয়েছি।

যদি তোমাদের আরো ও গণিতের সমাধানের প্রয়োজন হয় তাহলে আমাদের এই ওয়েবসাইটের কমেন্ট বক্সে লিখে জানাবে। আমরা চেষ্টা করবো যত তাড়াতাড়ি তোমাদের প্রশ্নের উত্তর দিতে পারি।

1. মান নির্ণয় করো :

(i) ` \left( \sqrt[5](8) \right) ^ \frac{5}{2} \times \left( 16 \right) ^ \frac{-3}{2}`

`= (8^\frac{1}{5})^\frac{5}{2}\times(2^4)^\frac{-3}{2}`

`= 8^[\frac{1}{5}\times\frac{5}{2}]\times 2^[4\times(\frac{-3}{2})]`

`= 8^[\frac{1}{5}\times\frac{5}{2}]\times 2^[4\times(\frac{-3}{2})]`

`=8^\frac{1}{2} \times 2^-3`

`=(2^3)^\frac{1}{2} \times 2^-3`

`=2^[\frac{3}{2} -3]`

`=2^\frac{3-2}{2}`

`=2^\frac{3}{2}`


`(ii)[(125)^-2 \times (16)^\frac{-3}{2}]^\frac{-1}{6}`

`=[(15^3)^-2 \times(2^4)^\frac{-3}{2}]^\frac{1}{6}`

`=(5^-6)^\frac{-1}{6} \times [2^[4\times(\frac{-3}{2})]]^\frac{-1}{6}`

`=5^[(-6)\times(-\frac{1}{6})] \times (2^-6)^\frac{-1}{6}`

`=5\times2`

`=10`


`(iii) 4^[\frac{1}{3}]\times[2^[\frac{1}{3}]\times 3^[\frac{1}{2}]]\div9^\frac{1}{4}`

`=\frac{2^[\frac{2}{3}]\times2^[\frac{1}{3}]\times3 ^[\frac{1}{2}]}{(3^2)^\frac{1}{4}}`

`=\frac{2^[\frac{2}{3}]\times 2^[\frac{1}{3}]\times 3^[\frac{1}{2}]}{3^[\frac{1}{2}]}`

`=2^[\frac{2}{3}+\frac{1}{3]]\times 3^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}]`

`=2^\frac{3}{3}\times 3^0`

`=2`


2. সরল করো :

`(i) (8a^3 \div 27x^-3)^\frac{2}{3} \times (64a^3 \div 27x^-3)^\-frac{2}{3}`

`=(8a^3\times\frac{1}{27x^-3})^\frac{2}{3} \times (64a^3\times \frac{1}{27x^-3})^\-frac{2}{3}`

`=(\frac{8a^3 x^3}{27}) \times (\frac{64a^3x^3}{27})^\-frac{2}{3}`

`=(\frac{2ax}{3})^3 \times (\frac{4ax}{3})^[3\times(-11)]`

`= (\frac{2ax}{3})^3 \times (\frac{4ax}{3})^-2`

`= \frac {2^2(ax)^[2-2] \times 4^-2}{3^[2-2]}`

`=2^2 \times 2^-4`

`=2^[2-4]`

`=2^-2`

`=\frac{1}{4}`


`(ii) {(x^-5)^\frac{2}{3}}^\-frac{3}{10}`

`=[x^\-frac{10}{3}]^\-frac{3}{10}`

`=x^[\-frac{10}{3}\times (\-frac{3}{10})`

`=x^1`

`=x`


`(iii) [{(2^-1)^-1}^-1]^-1`

`=[{2^[(-1)\times(-1)]}^-1]^-1`

`=(2^-1)^-1`

`=2^[(-1)\times(-1)]`

`=2`


`=a^\-frac{2}{3} \times b^\-frac{2}{3} \times c^\-frac{2}{3} \times abc`

`=a^[1-\frac{2}{3}]\times b^[1-\frac{2}{3}]\times c^[1-\frac{2}{3}]`

`=a^\frac{1}{3} \times b^\frac{1}{3} \times c^\frac{1}{3}`

`=(abc)^\frac{1}{3}`


`=(\frac{4^[m+\frac{1}{4}]\times \sqrt{2.2^m}}{2.\sqrt{2^-m}))^\frac{1}{m}`

`=(\frac{2^[2(m+\frac{1}{4})] \times 2^[\frac{m+1}{2}]}{2^1\times2^\-frac{m}{2}})^\frac{1}{m}`

`=(\frac{2^[2m+\frac{1}{2}+\frac{m}{2}+\frac{1}{2}}} {2^[1-\frac{m}{2}]})^\frac{1}{m}`

`=(2^[2m+\frac{1}{2}+\frac{m}{2}+\frac{1}{2}-1+\frac{m}{2}])^\frac{1}{m}`

`=(2^[3m])^\frac{1}{m}`

`=2^3`

`=8`


`(vi) 9^-3 \times \frac{16^\-frac{1}{4}}{6^-2}\times (\frac{1}{27})^\-frac{4}{3}`

`=\frac{3^-6\times2^[4\times(\-frac{1}{4})]} {3^-2 \times 2^-2} \times 3^[-3\times (\-frac{4}{3})]`

`=3^[-6+2] \times 2^[-1+2] \times 3^[+4]`

`=3^-4 \times 3^4 \times 2^1`

`=3^[-4+4]\times 2^1`

`=2`


`(vii) (\frac{x^a}{x^b})^[a^2+ab+b^2] \times (\frac{x^b} {x^c})^[b^2+bc+c^2] `

`\times (\frac{x^c}{x^a})^[c^2+ca+a^2]`

`=x^[(a-b) (a^2+ab+b^2] \times x^[(b-c)(b^2+bc+c^2)] `

`\times x^[(c-a)(c^2+ca+c^2)]`

`=x^[a^3 – b^3] \times x^[b^3-c^3] \times x^[c^3-a^3]`

`=x^[a^3-b^3+b^3-c^3+c^3-a^3]`

`=x^0`

`=1`


3. মানের উর্ধ্ব ক্রমানুসারে সাজাও : (i) `5^\frac{1}{2}, 10^\frac{1}{4}, 6^\frac{1}{3}`

`5^\frac{1}{2}` `=5^\frac{6}{12}` `=(5^6)^\frac{1}{12}` `=(15625)^\frac{1}{12}`

`10^\frac{1}{4}` `=10^\frac{3}{12}` `=(10^3)^\frac{1}{12}` `=(1000)^\frac{1}{12}`

`6^\frac{1}{3}` `=6^\frac{4}{12}` `=(6^4)^\frac{1}{12}` `=(1296)^\frac{1}{12}`

মানের উর্ধ্বক্রমানুসারে সাজিয়ে পায়, `10^\frac{1}{4}, 6^\frac{1}{3}, 5^\frac{1}{2}`


(ii) `3^\frac{1}{3}, 2^\frac{1}{2}, 8^\frac{1}{4}`

`3^\frac{1}{3}` `=3^\frac{4}{12}` `=(3^4)^\frac{1}{12}` `=(81)^\frac{1}{12}`

`2^\frac{1}{2}` `=2^\frac{6}{12}` `=(2^6)^\frac{1}{12}` `=(64)^\frac{1}{12}`

`8^\frac{1}{4}` `=8^\frac{3}{12}` `=(8^3)^\frac{1}{12}` `=(512)^\frac{1}{12}`

মানের উর্ধ্বক্রমানুসারে সাজিয়ে পায়, `2^\frac{1}{2}, 3^\frac{1}{3},8^\frac{1}{4}`


(iiii) `2^60, 3^48, 4^36, 5^24`

`2^60` `=(2^5)^12` `=(32)^12`

`3^48` `=(3^4)^12` `=(81)^12`

`4^36` `=(4^3)^12` `=(64)^12`

`5^24` `=(562)^12` `=(25)^12`

মানের উর্ধ্বক্রমানুসারে সাজিয়ে পায়, `5^24, 2^60, 4^36, 3^48`


4. প্রমাণ করো :

(i) `(\frac{a^q}{a^r})^p \times (\frac{a^r}{a^p})^q \times (\frac{a^p}{a^q})^r =1`

বামপক্ষ `=(\frac{a^q}{a^r})^p \times (\frac{a^r}{a^p})^q \times (\frac{a^p}{a^q})^r `

`=(a^[q-r])^p \times (a^2-p)^q \times (a^[p-q])^r`

`=a^[p(q-r)] \times a^[(r-p)q] \times a^[(p-q)r]`

`=a^[pq-pr+qr-qp+rp-rq]`

`=a^0`

`=1=` ডানপক্ষ (প্রমাণিত)


`(ii) (\frac{x^m}{x^n})^[m+n] \times (\frac{x^n}{x^l})^[n+l] \times (\frac{x^l}{x^m})^[l+m]=1`

বামপক্ষ = `(\frac{x^m}{x^n})^[m+n] \times (\frac{x^n}{x^l})^[n+l] \times (\frac{x^l}{x^m})^[l+m]`

`=(x^[m-n])^[m+n] \times (x^[n-l])^[n+l] \times (x^[l-m])^[l+m]`

`=x^[m^2-n^2] \times x^[n^2-l^2] \times x^[l^2-m^2]`

`=x^[m^2-n^2+n^2-l^2+l^2-m^2]`

`=x^0`

`=1=` ডানপক্ষ (প্রমাণিত)


`(iii) (\frac{x^m}{x^n})^[m+n-l] \times (\frac{x^n}{x^l})^[n+l-m] \times (\frac{x^l}{x^m})^[l+m-n]=1`

`=x^[(m-n)(m+n-l)] \times x^[(n-l)(n+l-m)] \times x^[(l-m)(l+m-n)]`

`=x^[m^2-n^2-l(m-n)+n^2-l^2-m(n-l)+l^2-m^2-n(l-m)]`

`=x^0=1` ডানপক্ষ (প্রমাণিত)


`(iv) (a^[\frac{1}{x-y}])^\frac{1}{x-z} \times (a^[\frac{1}{y-z}])^\frac{1}{y-x} \times (a^[\frac{1}{z-x}])^\frac{1}{z-y} =1`

`=a^[\frac{1}{(x-y)(x-z)}] \times a^[\frac{1}{(y-z)(y-x)}] \times a^[\frac{1}{(z-x)(z-y)}]`

`=a^[\frac{1}{(x-y)(x-z)} + \frac{1}{(y-z)(y-x)}+ \frac{1}{(z-x)(z-y)}]`

`=a^[\-frac{1}{(x-y)(z-x)} \-frac{1}{(y-z)(x-y)} \-frac{1}{(z-x)(y-z)}]`

`=a^[\frac{-(y-z)-(z-x)-(x-y)}{(x-y)(y-z)(z-x)}]`

`=a^[\frac{-y+z-z+x-x+y}{(x-y)(y-z)(z-x)}]`

`=a^0`

`=1` ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

5.x+z=2y এবং b2=ac হলে দেখাই যে a y-z b z-x c x-y =1

 x+z = 2y

বা, x-y = y-z

এখন , a y-z b z-x c x-y

= a y-z z-x y-z  [∵ x-y = y-z ]

= (ac)y-z z-x

= (b2)y-z z-x

= b 2y-2z b z-x

= b2y-2z+z-x

= b 2y-(x+z)

= b 2y-2y  [যেহেতু, x+z =2y]

= b0

=1 [ প্রমাণিত ]

6.a = xy p-1 , b = xyq-1 , c = xyr-1 হলে দেখাই যে , a q-r br-p  p-q =1

q-r br-p  p-q

= (xy p-1 q-r (xy q-1)r-p (xy r-1p-q

= x q-r (p-1)(q-r) x r-p (q-1)(r-p) xp-q (r-1)(p-q)

= x q-r+r-p+p-q y (p-1)(q-r)+(q-1)(r-p) + (r-1)(p-q)

= x 0 (pq-q-rp+r +qr-r-pq+p+rp-p-qr+q)

= x y0

= 1

7. `x^\frac{1}{a} = y^\frac{1}{b}=z^\frac{1}{c}` এবং xyz=1 হলে দেখাও যে a+b+c=0

` x^\frac{1}{a}=y^\frac{1}{b}=z^\frac{1}{c}=k` (k≠0, ± 1)

`x=k^a, y=k^b, z=k^c`

xyz=1

`k^a \times k^b\times k^c =1`

`k^[a+b+c] =k^0`

a+b+c=0 (প্রমাণিত)

8. a x = b=cএবং abc =1 হলে দেখাই যে a+b+c=1

ধরি, `a^x=b^y=c^z=k` (k≠0, ± 1)

`a=k^\frac{1}{x}, b=k^\frac{1}{y}, c=k^\frac{1}{z}`

abc=1

`k^\frac{1}{x} \times k^\frac{1}{y} \times k^\frac{1}{z} =1`

` k^[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}] =0`

` \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0`

`\frac{yz+zx+xy}{xyz}=0`

xy+yz+zx=0 (প্রমাণিত)

9. সমাধান করিঃ

(i) 49x= 73

বা, (7)2x = (7)3

বা, 2x =3

বা, x = `\frac{3}{2}`

(ii) 2 x+2+ 2 x-1 =9

বা, 2x . 22 + 2x .2-1 =9

বা, 2x .4 + 2x $\frac{1}{2}$ =9

বা, 2x (4+ $\frac{1}{2}$)= 9

বা, 2x ($\frac{9}{2}$) = 9

বা, 2x =9✕$\frac{2}{9}$

বা, 2x = 21

বা, x =1

(iii). 2x+1 + 2x+2 =48

বা, 2x .2+2x . 22 =48

বা, 2x .2+2x .4=48

বা, 2x (2+4) =48

বা, 2x ✕ 6 =48

বা, 2x = 8

বা, 2x =23

বা, x =3

(iv) `2^4x \times 4^[3x-1] =\frac{4^2x}{2^3x}`

বা, ` 2^4x \times 2^3x = \frac {4^2x}{4^[3x-1]`

বা, 27x = 4 2x -3x+1

বা, 27x = 4 1-x

বা, 27x = 22-2x

বা, 7x = 2-2x

বা, 7x + 2x =2

বা, 9x = 2

বা, ` x=\frac{2}{9}`

(v) 9✕ 81x = 27 2-x

বা, 32 ✕ 34x = 33(2-x)

বা, 3(2+4x) = 3(6-3x)

বা, 2+4x=6-3x

বা, 4x+3x=6-2

বা, 7x=4

বা, x=$\frac{4}{7}$

(vi) 2(5x+4) +29=210

বা, 2 (5x+4) =210 -29

বা, 2 (5x+4) =29(2-1)

বা, 2(5x+4) = 2 9

বা, 5x+4 =9

বা, 5x =9-4

বা, 5x=5

বা, x = 5/5

বা, x=1 [উত্তর]

(vii) 6 (2x+4) = 33x  . 2 x+8

বা, (3✕2)(2x+4) = 3 3x . 2 x+8

বা, 3 (2x+4) . 2 (2x+4) = 3 3x . 2 x+8

বা, `\frac{3^[2x+4]}{3^3x} = \frac{2^[x+8]}{2^[2x+4]}`

বা, 3 (2x+4-3x) = 2 (x+8-2x-4)

বা, 3 4-x= 2 4-x

বা, `(\frac{3}{2})^[4-x]=1`

বা, `(\frac{3}{2})^[4-x]=(\frac{3}{2})^0`

বা, 4-x =0

বা, x=4 (উত্তর)

Leave a Comment

আদানি এবার মুকেশ আম্বানির চেয়েও এগিয়ে WBBSE Class 6 English Book Solution ভারতের 7টি সেরা গাড়ি বীমা কোম্পানি আপনার সিটবেল্ট বেঁধে নিন: 3 ঘন্টা 33 মিনিটে দিল্লি থেকে বারাণসী (উচ্চমাধ্যমিক) West Bengal HS Class 12 New Routine 2022